Théorème des hyperplans de Lefschetz

En mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique et en topologie algébrique, le théorème des hyperplans de Lefschetz est un énoncé précis de certaines relations entre la forme d'une variété algébrique et la forme de ses sous-variétés. Plus précisément, le théorème énonce que pour une variété X plongée dans l'espace projectif et une section hyperplane (i.e. une intersection de X à un hyperplan) Y, les groupes d'homologie, de cohomologie et d'homotopie de X déterminent ceux de Y. Un résultat de ce type a été énoncé pour la première fois par Solomon Lefschetz pour les groupes d'homologie de variétés algébriques complexes. Des résultats similaires ont depuis été trouvés pour les groupes d'homotopie, en caractéristique positive et dans d'autres théories d'homologie et de cohomologie.

Une généralisation du théorème de Lefschetz est donnée par le théorème de décomposition (en).

Le théorème de l'hyperplan de Lefschetz pour les variétés projectives complexes

Soit X une variété algébrique projective complexe de dimension n dans CP^N, et soit Y une section hyperplane de X telle que U = X ∖ Y soit lisse. Le théorème de Lefschetz fait référence à l'une des propriétés suivantes^[1],[2] :

1. L'application naturelle H_k(Y, Z) → H_k(X, Z) en homologie singulière est un isomorphisme pour k < n − 1 et est surjective pour k = n − 1.
2. L'application naturelle H^k(X, Z) → H^k(Y, Z) en cohomologie singulière est un isomorphisme pour k < n − 1 et est injective pour k = n − 1.
3. L'application naturelle π_k(Y, Z) → π_k(X, Z) est un isomorphisme pour k < n − 1 et est surjectif pour k = n − 1.

En utilisant une suite exacte longue, on peut montrer que chacun de ces énoncés est équivalent à un théorème d'annulation pour certains invariants topologiques relatifs. Respectivement :

1. Les groupes d'homologie singuliers relatif H_k(X, Y, Z) sont nuls pour ${\displaystyle k\leq n-1}$.
2. Les groupes de cohomologie singuliers relatifs H^k(X, Y, Z) sont nuls pour ${\displaystyle k\leq n-1}$.
3. Les groupes d'homotopie relatifs π_k(X, Y) sont nuls pour ${\displaystyle k\leq n-1}$.

Preuves du théorème

Solomon Lefschetz^[3] a utilisé son idée de crayon de Lefschetz (en) pour prouver le théorème. Aldo Andreotti et Theodore Frankel^[4] ont remarqué que le théorème de Lefschetz pouvait être déduit dans la théorie de Morse^[5]. Ni la preuve de Lefschetz ni la preuve d'Andreotti et Frankel n'impliquent directement le théorème de l'hyperplan de Lefschetz pour les groupes d'homotopie. Une approche qui le fait a été trouvée par René Thom au plus tard en 1957 et a été simplifiée et publiée par Raoul Bott en 1959^[6].

En 1982, une équipe composée de Joseph Bernstein, Pierre Deligne, Alexander Beilinson et Ofer Gabber établit le « théorème de décomposition Beilinson, Bernstein, Deligne et Gabber » qui prouve, grâce à son propre « théorème de pureté (en) », le théorème des hyperplans de Lefschetz^[7].

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lefschetz hyperplane theorem » (voir la liste des auteurs).

1. Milnor 1969, Theorem 7.3 and Corollary 7.4
2. Voisin 2003, Theorem 1.23
3. Lefschetz 1924
4. Andreotti et Frankel 1959
5. Milnor 1969, p. 39
6. Bott 1959
7. (en) Mark Andrea A. de Cataldo et Luca Migliorini, « The decomposition theorem, perverse sheaves and the topology of algebraic maps », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 46,‎ 2009, p. 535-633 (ISSN 0273-0979, lire en ligne).

Bibliographie

• Aldo Andreotti et Theodore Frankel, The Lefschetz theorem on hyperplane sections, vol. 69, coll. « Second Series », 1959, 713–717 p. (ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1970034, MR 0177422)
• Arnaud Beauville, The Hodge Conjecture (CiteSeer^x 10.1.1.74.2423)
• Raoul Bott, On a theorem of Lefschetz, vol. 6, 1959, 211–216 p. (DOI 10.1307/mmj/1028998225 , MR 0215323, lire en ligne)
• Pierre Deligne, La conjecture de Weil. II, 1980, 137–252 p. (ISSN 1618-1913, MR 601520, lire en ligne)
• Phillip Griffiths, Donald C. Spencer et George W. Whitehead, Biographical Memoirs, vol. 61, The National Academies Press, 1992 (ISBN 978-0-309-04746-3), « Solomon Lefschetz »
• Robert Lazarsfeld, Positivity in algebraic geometry. I, vol. 48, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics] », 2004 (ISBN 978-3-540-22533-1, DOI 10.1007/978-3-642-18808-4, MR 2095471)
• Solomon Lefschetz, L'Analysis situs et la géométrie algébrique, Paris, Gauthier-Villars, coll. « Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel », 1924
• John Willard Milnor, Morse theory, Princeton University Press, coll. « Annals of Mathematics Studies, No. 51 », 1963 (MR 0163331)
• Claude Sabbah, Théorie de Hodge et théorème de Lefschetz « difficile », 2001 (lire en ligne [archive du 7 juillet 2004])
• Claire Voisin, Hodge theory and complex algebraic geometry. II, vol. 77, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », 2003 (ISBN 978-0-521-80283-3, DOI 10.1017/CBO9780511615177, MR 1997577)

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