Théorème ergodique maximal

Le théorème ergodique maximal est un théorème qui s'inscrit dans la théorie ergodique, une branche des mathématiques.

Soient ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$ est un espace de probabilité, ${\displaystyle T:X\to X}$ une transformation préservant la mesure (non nécessairement inversible), et ${\displaystyle f\in L^{1}(\mu ,\mathbb {R} )}$. On définit l'application ${\displaystyle f^{*}}$ par

${\displaystyle f^{*}=\sup _{N\geq 1}{\frac {1}{N}}\sum _{i=0}^{N-1}f\circ T^{i}.}$

Alors le théorème ergodique maximal énonce que

${\displaystyle \int _{f^{*}>\lambda }f\,d\mu \geq \lambda \cdot \mu \{f^{*}>\lambda \}}$

pour tout ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$.

Ce théorème est utilisé pour prouver le théorème ergodique ponctuel.

Références

•  Dynamics & stochastics: festschrift in Honour of M.S. Keane, Institute of Mathematical Statistics, coll. « Lecture notes-monograph series », 2006 (ISBN 978-0-940600-64-5)

• Portail des mathématiques