Salmanov apprend enfant à jouer du piano avec son père. À dix-huit ans, sur le point d'entrer au Conservatoire de Leningrad, il décide d'étudier la géologie et travaille en tant que géologue jusqu'en 1935, lorsqu'il décide finalement d'assister aux cours de composition au Conservatoire, avec Mikhaïl Gnessine. Après son diplôme, il travaille comme compositeur jusqu'au début de la Seconde Guerre mondiale, lorsqu'il s'enrôle dans l'armée Soviétique. Après la guerre, il compose une série sur des poèmes d'Alexandre Blok et Sergueï Essénine relatifs à la guerre. Plus tard dans sa vie, Salmanov met en musique des poèmes de Federico García Lorca et Pablo Neruda, ainsi que par les poètes russes.
La Symphonie n° 1 en ré mineur de Salmanov est composée en 1952 et dédiée au chef d'orchestreEvgeny Mravinsky, qui a effectué l'enregistrement de l'ensemble de ses symphonies. L'œuvre s'appuie sur des mélodies folkloriques slaves et un thème leitmotiv entendu au début au premier mouvement se reproduit dans le Finale. Sa Symphonie n° 4 de même, a été dédiée à Mravinsky.
Bien que moins politique que Tikhon Khrennikov, Salmanov occupe divers postes politiques, notamment celui de Secrétaire d'une union des compositeurs. Il a également enseigné au Conservatoire de Leningrad, où il avait fait ses études.