Considérant le mouvement d'un satellite ou une sonde autour d'un attracteur, en l'absence de perturbations orbitales spécifique de l'énergie totale, est conservée. L'équation est :
Certaines conditions, déjà connues de Loi universelle de la gravitation selon Newton, doivent d'abord être posées pour simplifier ce qui suit.
Deux masses en forme de point et sont dans le vide à la distance l'une de l'autre. Seule la force de gravitation agit, instantanément et quelle que soit la distance. Le système de coordonnées est inertiel.
En plus il est supposé que . Il y a donc , le corps central, dans l'origine du système de coordonnées et est le satellite qui tourne autour. La masse réduite est égale à . L'équation du problème à deux corps
décrit le mouvement. est le paramètre gravitationnel standard et (valeur absolue ) est le vecteur de distance qui pointe depuis le corps central au satellite parce que la masse du satellite est négligeable[Notes 1].
C'est important de ne pas confondre le paramètre gravitationnel standard avec la masse réduite dont le symbole est souvent également.
(le changement du composant radial de , ne pas confondre avec la valeur absolue de )
avec les différentielles suivantes
l'équation devient
Cela veut dire que la somme est constante (grandeur conservée). Et cette somme est exactement l'énergie par unité de masse du satellite, on reconnait l'énergie cinétique par unité de masse et l'énergie potentielle par unité de masse [1]
avec la constante d'intégration , qui peut être fixée au choix selon où . En général on choisit [1].
En clair l'équation dit que l'énergie orbitale augmente avec la distance entre le satellite et le corps central et avec la vitesse du satellite. La convention équivaut à ce que l'énergie orbitale spécifique est négative lorsque le satellite repose sur la surface ou est en orbite fermée. L'énergie est positive quand le satellite est en évasion du champ de gravité.
L'équation de l'énergie orbitale spécifique peut être transformée dans la forme traditionnelle de l'équation de la force vive. Il suffit de considérer l'énergie orbitale à une seule position sur l'orbite (elle est constante), par exemple en périapside. Avec le moment cinétique spécifique la vitesse est
Quelques changements simples donnent la forme traditionnelle de l'équation de la force vive [2]
Le rapport important dit clairement que l'énergie d'un satellite dépend uniquement du paramètre gravitationnel standard et du demi-grand axe de l'orbite.
Cela est valable pour l'orbite elliptique : , , qui contient l'orbite circulaire comme cas spécial ; et pour l'orbite hyperbolique: , . Dans le cas limite de l'orbite parabolique, l'énergie est 0. Le satellite se trouve alors à la limite entre capté dans le champ gravitationnel du corps central et évasion du champ gravitationnel du corps central.
↑On n'est pas obligé de faire cette supposition pour dériver l'énergie orbitale spécifique. Alors l'origine du système de coordonnées est le barycentre, le paramètre gravitationnel standard et reste la masse réduite (pas ). Mais cette simplification est bonne dans la plupart des cas et les dérivations de l'énergie orbitale spécifique et de l'équation de la force vive sont plus simples.