Équation différentielle à retard

En mathématiques, les équations différentielles à retard (EDR) sont un type d'équation différentielle dans laquelle la dérivée de la fonction inconnue à un certain instant est donnée en fonction des valeurs de la fonction aux instants précédents. Les EDR sont également appelés des systèmes à retard, systèmes avec effet secondaire ou temps mort, systèmes héréditaires, équations à argument déviant, ou équations aux différences différentielles . Elles appartiennent à la classe des systèmes à l' état fonctionnel, c'est-à-dire les équations aux dérivées partielles (EDP) qui sont de dimension infinie, par opposition aux équations différentielles ordinaires (EDO) ayant un vecteur d'état de dimension finie. Quatre points peuvent donner une explication possible à la popularité des EDR^[1]:

• L'effet secondaire est un problème appliqué : il est bien connu que, parallèlement aux attentes croissantes en matière de performances dynamiques, les ingénieurs ont besoin que leurs modèles se comportent davantage comme le processus réel. De nombreux processus incluent des phénomènes d'effet secondaire dans leur dynamique interne. De plus, les actionneurs, les capteurs et les réseaux de communication qui sont maintenant impliqués dans les boucles de contrôle de rétroaction introduisent de tels retards. Enfin, à part les retards réels, les décalages temporels sont fréquemment utilisés pour simplifier les modèles d'ordre très élevé. Ensuite, l'intérêt pour les EDR ne cesse de croître dans tous les domaines scientifiques et, en particulier, en ingénierie de contrôle.
• Les systèmes à retard résistent encore à de nombreux contrôleurs classiques : on pourrait penser que l'approche la plus simple consisterait à les remplacer par des approximations de dimension finie. Malheureusement, ignorer les effets correctement représentés par les EDR n'est pas une alternative générale : dans la meilleure situation (retards constants et connus), cela résulte au même degré de complexité dans la conception du contrôle. Dans le pire des cas (retards variant dans le temps, par exemple), il est potentiellement désastreux en termes de stabilité et d'oscillations.
• L'introduction volontaire de retards peut bénéficier le système de contrôle^[2].
• Malgré leur complexité, les EDR apparaissent souvent comme de simples modèles de dimension infinie dans le domaine très complexe des équations aux dérivées partielles (EDP).

Une forme générale de l'équation différentielle de retard pour ${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ est

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=f(t,x(t),x_{t}),}$$

où ${\displaystyle x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}}$ représente la trajectoire de la solution dans le passé. Dans cette équation, ${\displaystyle f}$ est un opérateur fonctionnel de ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\times C^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n})}$ à ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Exemples

• Retard continu $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\,\mathrm {d} \mu (\tau )\right)}$$
• Retard discret$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=f(t,x(t),x(t-\tau _{1}),\dots ,x(t-\tau _{m}))}$$
• Linéaire avec des retards discrets$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dots +A_{m}x(t-\tau _{m})}$$
• Équation du pantographe$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=ax(t)+bx(\lambda t),}$$où a, b et λ sont des constantes et 0 < λ < 1. Cette équation et certaines formes plus générales portent le nom des pantographes des trains^[3],[4].

Résolution des EDR

Les EDR sont principalement résolus de manière progressive avec un principe appelé la méthode des étapes. Par exemple, considérons le EDR avec un seul retard$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=f(x(t),x(t-\tau ))}$$

avec condition initiale donnée ${\displaystyle \phi \colon [-\tau ,0]\to \mathbb {R} ^{n}}$. Alors la solution sur l'intervalle ${\displaystyle [0,\tau ]}$ est donné par ${\displaystyle \psi (t)}$ qui est la solution du problème de la valeur initiale non homogène$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\psi (t)=f(\psi (t),\phi (t-\tau )),}$$

avec ${\displaystyle \psi (0)=\phi (0)}$ . Ceci peut être poursuivi pour les intervalles successifs en utilisant la solution de l'intervalle précédent comme terme non homogène. En pratique, le problème de la valeur initiale est souvent résolu numériquement.

Exemple

On suppose ${\displaystyle f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )}$ et ${\displaystyle \phi (t)=1}$. Ensuite, le problème de la valeur initiale peut être résolu par intégration,

$${\displaystyle x(t)=x(0)+\int _{s=0}^{t}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(s)\,\mathrm {d} s=1+a\int _{s=0}^{t}\phi (s-\tau )\,\mathrm {d} s,}$$

c'est-à-dire, ${\displaystyle x(t)=at+1}$, où la condition initiale est donnée par ${\displaystyle x(0)=\phi (0)=1}$ . De même, pour l'intervalle ${\displaystyle t\in [\tau ,2\tau ]}$ nous intégrons et ajustons la condition initiale,

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)=x(\tau )+\int _{s=\tau }^{t}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(s)\,\mathrm {d} s&=(a\tau +1)+a\int _{s=\tau }^{t}\left(a(s-\tau )+1\right)\,\mathrm {d} s\\&=(a\tau +1)+a\int _{s=0}^{t-\tau }(as+1)\,\mathrm {d} s,\end{aligned}}}$$

c'est-à-dire, ${\textstyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {1}{2}}{a(t-\tau )}+1\right).}$

Réduction à une équation différentielle ordinaire

Dans certains cas, les équations différentielles peuvent être représentées dans un format qui ressemble à des équations différentielles à retard.

• Exemple 1 Considérons une équation$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\mathrm {e} ^{\lambda \tau }\,\mathrm {d} \tau \right).}$$

On pose ${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\mathrm {e} ^{\lambda \tau }\,\mathrm {d} \tau }$ pour obtenir un système d'EDO$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}y(t)=x-\lambda y.}$$

• Exemple 2 Une équation$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )\,\mathrm {d} \tau \right)}$$est équivalente à $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}y(t)=\cos(\beta )x+\alpha z,\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}z(t)=\sin(\beta )x-\alpha y,}$$où$${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )\,\mathrm {d} \tau ,\quad z(t)=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\sin(\alpha \tau +\beta )\,\mathrm {d} \tau .}$$

L'équation caractéristique

Comme pour les EDOs, de nombreuses propriétés des EDR linéaires peuvent être caractérisées et analysées à l'aide de l'équation caractéristique^[5]. L'équation caractéristique associée à l'EDR linéaire à retards discrets$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dots +A_{m}x(t-\tau _{m})}$$est$${\displaystyle \det(-\lambda I+A_{0}+A_{1}\mathrm {e} ^{-\tau _{1}\lambda }+\dotsb +A_{m}\mathrm {e} ^{-\tau _{m}\lambda })=0.}$$Les racines λ de l'équation caractéristique sont appelées racines caractéristiques ou valeurs propres et l'ensemble de solutions est souvent appelé spectre. En raison de l'exponentielle dans l'équation caractéristique, le EDR a, contrairement au cas EDO, un nombre infini de valeurs propres, ce qui rend une analyse spectrale plus complexe. Le spectre possède cependant certaines propriétés qui peuvent être exploitées dans l'analyse. Par exemple, même s'il existe un nombre infini de valeurs propres, il n'y a qu'un nombre fini de valeurs propres à droite de toute ligne verticale dans le plan complexe.^{[réf. nécessaire]}

Cette équation caractéristique est un problème propre non linéaire et il existe de nombreuses méthodes pour calculer numériquement le spectre^[6]. Dans certaines situations particulières, il est possible de résoudre explicitement l'équation caractéristique. Considérez, par exemple, le EDR suivant :

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)=-x(t-1).}$$L'équation caractéristique est$${\displaystyle -\lambda -\mathrm {e} ^{-\lambda }=0.}$$Il existe un nombre infini de solutions à cette équation pour le complexe λ. Ils sont donnés par $${\displaystyle \lambda =W_{k}(-1),}$$

où W_k est la k^e branche de la fonction W de Lambert.

Applications

• Dynamique du diabète ^[7]
• Épidémiologie ^[8],[9]
• Dynamique des populations ^[10],[11]
• Électrodynamique classique ^[12]

Articles connexes

• Fonction de Dickman
• Fonction de Buchstab (en)
• Équation différentielle fonctionnelle (en)
• Inégalité de Halanay (en)

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Delay differential equation » (voir la liste des auteurs).

1. Richard, « Time Delay Systems: An overview of some recent advances and open problems », Automatica, vol. 39, n^o 10,‎ 2003, p. 1667–1694 (DOI 10.1016/S0005-1098(03)00167-5)
2. Lavaei, Sojoudi et Murray, « Simple delay-based implementation of continuous-time controllers », Proceedings of the 2010 American Control Conference,‎ 2010, p. 5781–5788 (ISBN 978-1-4244-7427-1, DOI 10.1109/ACC.2010.5530439, S2CID 1200900, lire en ligne)
3. Thomas Griebel, « The pantograph equation in quantum calculus », Masters Theses,‎ 1^er janvier 2017 (lire en ligne)
4. John Richard Ockendon, A. B. Tayler et George Frederick James Temple, « The dynamics of a current collection system for an electric locomotive », Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, vol. 322, n^o 1551,‎ 4 mai 1971, p. 447–468 (DOI 10.1098/rspa.1971.0078, S2CID 110981464, lire en ligne)
5. Wim Michiels et Silviu-Iulian Niculescu, Stability and Stabilization of Time-Delay Systems, Society for Industrial and Applied Mathematics, coll. « Advances in Design and Control », 2007, 3–32 p. (ISBN 978-0-89871-632-0, DOI 10.1137/1.9780898718645, lire en ligne)
6. Wim Michiels et Silviu-Iulian Niculescu, Stability and Stabilization of Time-Delay Systems, Society for Industrial and Applied Mathematics, coll. « Advances in Design and Control », 2007, 33–56 p. (ISBN 978-0-89871-632-0, DOI 10.1137/1.9780898718645, lire en ligne)
7. (en) Makroglou, Li et Kuang, « Mathematical models and software tools for the glucose-insulin regulatory system and diabetes: an overview », Applied Numerical Mathematics, selected Papers, The Third International Conference on the Numerical Solutions of Volterra and Delay Equations, vol. 56, n^o 3,‎ 1^er mars 2006, p. 559–573 (ISSN 0168-9274, DOI 10.1016/j.apnum.2005.04.023, lire en ligne)
8. (en) Salpeter et Salpeter, « Mathematical Model for the Epidemiology of Tuberculosis, with Estimates of the Reproductive Number and Infection-Delay Function », American Journal of Epidemiology, vol. 147, n^o 4,‎ 15 février 1998, p. 398–406 (ISSN 0002-9262, PMID 9508108, DOI 10.1093/oxfordjournals.aje.a009463, lire en ligne)
9. (en) Kajiwara, Sasaki et Takeuchi, « Construction of Lyapunov functionals for delay differential equations in virology and epidemiology », Nonlinear Analysis: Real World Applications, vol. 13, n^o 4,‎ 1^er août 2012, p. 1802–1826 (ISSN 1468-1218, DOI 10.1016/j.nonrwa.2011.12.011, lire en ligne)
10. K. Gopalsamy, Stability and Oscillations in Delay Differential Equations of Population Dynamics, Dordrecht, NL, Kluwer Academic Publishers, coll. « Mathematics and Its Applications », 1992 (ISBN 978-0792315940, DOI 10.1007/978-94-015-7920-9, lire en ligne)
11. Y. Kuang, Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics, San Diego, CA, Academic Press, coll. « Mathematics in Science and Engineering », 1993 (ISBN 978-0080960029, lire en ligne)
12. (en) López, « On an electrodynamic origin of quantum fluctuations », Nonlinear Dynamics, vol. 102, n^o 1,‎ 1^er septembre 2020, p. 621–634 (ISSN 1573-269X, DOI 10.1007/s11071-020-05928-5, arXiv 2001.07392, S2CID 210838940, lire en ligne)

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Delay Differential Equation », sur MathWorld

• Portail de l'analyse