Clasificación dos grupos simples finitos

En teoría de grupos, a clasificación de grupos simples finitos é un teorema que se emprega para clasificar todos os grupos simples finitos. Estes grupos poden ser vistos como os bloques que constrúen todos os grupos finitos, do mesmo xeito que os números primos constrúen os números naturais. O teorema de Jordan-Hölder é a maneira máis precisa de establecer este feito sobre os grupos finitos.

A proba do teorema consiste en gran cantidade de escritos matemáticos, feitos en decenas de miles de páxinas de máis de 500 artigos escritos por máis de cen autores en revistas matemáticas, a maioría dos cales foron publicadas entre 1955 e 1983, provocando dúbidas sobre a demostración e a completitude da mesma, pola súa lonxitude e complexidade.

Teorema de clasificación

O teorema enúnciase da seguinte maneira:

Todo grupo finito simple é isomorfo a un dos 26 grupos simples esporádicos ou ben é isomorfo a un dos seguintes grupos:

• Un grupo cíclico con orde prima
• Un grupo alternado de grao ao menos 5
• Un grupo de Lie simple, incluíndo
  • Os grupos de Lie clásicos
  • O grupo excepcional e os grupos empenados incluíndo os grupos de Lie tipo Tit

Algúns consideran aos grupos Tit como grupos esporádicos debido a que non son estritamente grupos de Lie, pero esta diferenza non ten impacto no teorema de clasificación.

Os primeiros grupos esporádicos descubertos foron o cinco primeiros grupos de Mathieu, estudados en 1860 por Émile Mathieu. Os outros 21 grupos esporádicos foron atopados entre os anos 1965 e 1975. 20 dos 26 forman tres familias (un dos cales é a familia dos grupos de Mathieu), e son subgrupos ou grupos cociente dos grupos de Monster, que é o grupo esporádico coa orde máis alta. Os seis grupos esporádicos restantes definen unha clasificación chamada os grupos "paria".

O teorema de clasificación ten dispersas aplicacións en moitas ramas das matemáticas; preguntas sobre a estrutura dos grupos finitos (e a súa acción sobre outros obxectos matemáticos) poden ser reducidas a preguntas sobre grupos finitos simples. Grazas ao teorema de clasificación esas preguntas podes aclararse examinando só configuracións finitas, en particular, cada unha das infinitas familias a miúdo poden ser eliminadas por un único argumento.

Dúbidas sobre a proba

Existen algunhas dúbidas en canto a se a proba, que se estende por máis de 500 artigos, é completa e correcta, e esas dúbidas xustifícanse en gran medida cando se atopan obstáculos e "ocos" nalgúns argumentos. A pesar de todos os obstáculos que se atoparon partes da suposta proba permanecen inamovibles. Jean-Pierre Serre é un notable escéptico sobre a suposta proba deste enorme teorema.^[1]

Durante máis dunha década, os expertos coñecían un "oco" (de acordo con Michael Aschbacher) no teorema de clasificación non publicado por Geoff Mason dos grupos quasithin. O anuncio de Daniel Gorenstein en 1983 de que os grupos finitos simples foran clasificados, en parte baséase na súa convicción de que o caso dos grupos quasithin fora terminado. Non foi até 2004 cando Aschbacher e Steve Smith publicaron unha clasificación completa de devanditos grupos que abrangue preto de 1200 páxinas.

Clasificación de segunda xeración

A proba do teorema, na súa forma actual, pode chamarse de primeira xeración. Debido á extrema lonxitude da proba da primeira xeración da proba, dedicouse moito esforzo á procura dunha proba sinxela, chamada proba de segunda xeración. Este esforzo, chamado "revisionismo", foi dirixido por Daniel Gorenstein.

A partir de 2005, publicáronse seis volumes da segunda xeración da proba. Estímase que a nova proba é de aproximadamente 5000 páxinas. Aschbacher e Smith escribiron os seus dous volumes dedicados ao caso quasithin, de tal xeito que os volumes poden ser parte da segunda xeración da proba.

Gorenstein e os seus colaboradores deron varias razóns polas que unha simple proba diso é posible:

• O máis importante é que agora se coñece o enunciado final do teorema. A simplificación de técnicas que poden aplicarse aos grupos que se coñecen como finitos e simples son axeitadas nesta xeración. En cambio, os que traballaron na primeira xeración da proba non coñecían a cantidade de grupos esporádicos, e de feito algúns dos grupos esporádicos (por exemplo, o grupo de Janko) foron descubertos probando outros casos do teorema de clasificación. Como resultado, moitas das pezas do teorema demóstrase mediante as técnicas que eran demasiado xerais.
• Debido a que a conclusión era descoñecida, a primeira xeración da proba componse de moitos teoremas autónomos, que tratan de importantes casos especiais. Gran parte do labor de probar estes teoremas dedicouse á análise de numerosos casos especiais. O prezo pago en virtude da presente estratexia, é que estes teoremas de primeira xeración xa non teñen probas curtas, senón que dependen da clasificación completa.
• Moitos teorema de primeira xeración superpóñense, e así dividen os casos posibles de xeito ineficiente. Como resultado, as familias e as subfamilias dos grupos finitos simples identificáronse varias veces. A revisión da proba elimina as redundancias existentes na subdivisión dos casos.
• Actualmente os teóricos de grupos finitos teñen máis experiencia neste tipo de exercicio, e teñen novas técnicas á súa disposición.

Clasificación de terceira xeración

Aschbacher en 2004 denominou os traballos sobre o problema de clasificación feitos por Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth e algúns outros, como programa de terceira xeración.

Notas

1. Entrevista con Jean-Pierre Serre

Véxase tamén

Bibliografía

• Aschbacher, Michael (2004) "The Status of the Classification of the Finite Simple Groups," Notices of the American Mathematical Society
• Conway, John Horton; Curtis, Robert Turner; Norton, Simon Phillips; Parker, Richard A; Wilson, Robert Arnott (1985). ATLAS of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups (en inglés). Oxford University Press. ISBN 0198531990. 
• Gorenstein, Daniel (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American, vol. 253, no. 6, pp. 104–115.
• Gorenstein, Daniel, Richard Lyons, Ronald Solomon (1994) The Classification of the Finite Simple Groups, Vol. 1, Volume 2. AMS
• Mark Ronan, Symmetry and the Monster, ISBN 978-0-19-280723-6, Oxford University Press, 2006
• Sautoy, Marcus du, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7
• Solomon, Ron (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society

Ligazóns externas

• ATLAS of Finite Group Representations. Base de datos de representacións e outros datos de moitos grupos simples finitos.
• Elwes, Richard, "An enormous theorem: the classification of finite simple groups," Plus Magazine, Issue 41, decembro de 2006.
• Madore, David (2003) Orders of nonabelian simple groups.Arquivado 04 de abril de 2005 en Wayback Machine. Inclúe unha listaxe de todos os grupos simples non abelianos ata orde 10¹⁰.
• In what sense is the classification of all finite groups “impossible”?