Conxectura de Artin sobre raíces primitivas

En teoría de números, a conxectura de Artin sobre raíces primitivas expresa que dado un número enteiro a que non é un cadrado perfecto e tampouco −1, é unha raíz primitiva módulo de infinitos primos p. A conxectura tamén describe unha densidade asintótica deses primos. Esta densidade conxectural é igual á constante de Artin ou a un múltiplo racional da mesma.

A conxectura foi formulada por Emil Artin a Helmut Hasse o 27 de setembro de 1927, segundo o diario deste último. A pesar dos importantes progresos realizados, a conxectura segue sen estar resolta. De feito, aínda non existe nin un só valor de a para o que a conxectura de Artin estea demostrada.

Formulación

Sexa a un enteiro que non é un cadrado perfecto e tampouco −1. Escríbase a = a₀b² con a₀ libre de cadrados. Denote por S(a) o conxunto de números primos p tales que a sexa unha raíz primitiva módulo p. Entón:

1. S(a) ten unha densidade asintótica positiva dentro do conxunto de primos. En particular, S(a) é infinita.
2. Baixo as condicións de que a non sexa unha potencia perfecta e de que a₀ no sexa congruente con 1 módulo 4, esta densidade é independente de a e é igual á constante de Artin que pode ser expresada como un produto infinito

${\displaystyle C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{q\ \mathrm {primo} }\left(1-{\frac {1}{q(q-1)}}\right)=0.3739558136\ldots }$ (sucesión A005596 en OEIS).

Existen fórmulas de produtos similares conxecturadas^[1] para a densidade cando a non satisfai as condicións anteriores. Neses casos, a densidade conxecturada é sempre un múltiplo racional de C_Artin.

Exemplo

Por exemplo, tómese a = 2. A conxectura afirma que o conxunto dos números primos p para os cales 2 é unha raíz primitiva ten a densidade anteriormente citada C_Artin. O conxunto de tales primos é (sucesión A001122 en OEIS)

S(2) = {3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491,...}.

Este ten 38 elementos máis pequenos que 500 e hai 95 primos menores que 500. A razón (que tende conxecturalmente a C_Artin) é 38/95 = 2/5 = 0.4.

Intentos de demostración

En 1967, Hooley publicou unha proba condicional para a conxectura, asumindo certos casos da hipótese xeneralizada de Riemann^[2].​ En 1984, R. Gupta e M. Ram Murty mostraron incondicionalmente que a conxectura de Artin é certa para infinitos a usando métodos de cribado^[3].​ Roger Heath-Brown mellorou os seus resultados e mostrou incondicionalmente que hai, como moito, dous números primos excepcionais a para os cales a conxectura de Artin falla^[4].​ Este resultado non é construtivo, no que se refire ás excepcións. Por exemplo, dedúcese do teorema de Heath-Brown que un dos primos 3, 5 ou 7 é unha raíz primitiva módulo p para infinitos p. Pero a demostración non proporciona unha forma de calcular cal é.

Notas

1. Gerard P. Michon (15 de xuño de 2006). "Artin's Constant". Numericana. 
2. Hooley, Christopher (1967). "On Artin's conjecture". J. Reine Angew. Math. 225: 209–220. 
3. Gupta, Rajiv; Murty, M. Ram (1984). "A remark on Artin's conjecture". Invent. Math. 78 (1): 127–130. doi:10.1007/BF01388719. 
4. Heath-Brown, D. R. (1986). "Artin's conjecture for primitive roots". Quart. J. Math. Oxford Ser. 37 (1): 27–38. doi:10.1093/qmath/37.1.27. 

Véxase tamén

Bibliografía

• M. Ram Murty (1988). «Artin's conjecture for primitive roots» (DVI). The Mathematical Intelligencer 10 (4): 59-67. doi:10.1007/BF03023749.