Ecuación de onda electromagnética

Os campos electromagnéticos propáganse polo espazo en forma de ondas, que poden viaxar a través dun medio así como no baleiro. As ecuacións de onda electromagnéticas son necesarias para describir a propagación das ondas electromagnéticas, tanto en presenza de materia como no baleiro.

Ecuacións de onda e as ecuacións de Maxwell

Como se pode apreciar, temos ecuacións de onda tanto para o campo eléctrico ${\displaystyle {\vec {E}}}$ como para o fluxo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$ , que se obteñen a partir das ecuacións de Maxwell, tendo que:

${\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$

${\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}({\vec {J}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}})}$

Para obtermos as ecuacións é necesario aplicar o operador rotacional a ambas.

Ecuación de onda para E

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\vec {B}})}$

Substituíndo ${\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}}$ e aplicando identidade de rotacional temos:

${\displaystyle -\nabla ^{2}{\vec {E}}+\nabla (\nabla \cdot {\vec {E}})=-{\frac {\partial }{\partial t}}\mu _{0}({\vec {J}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}})}$

Ora ben, sabemos que a segunda parte do lado esquerdo é cero e ${\displaystyle {\vec {J}}}$ é cero no baleiro, quedándonos só

${\displaystyle -\nabla ^{2}{\vec {E}}=-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}}$

Agora, igualando a cero e sabendo que ${\displaystyle \mu _{0}\epsilon _{0}={\frac {1}{c^{2}}}}$, sendo c a velocidade da luz, temos a ecuación de onda para ${\displaystyle {\vec {E}}}$:

${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {E}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=0}$

Ecuación de onda para B

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {B}})=\nabla \times (\mu _{0}({\vec {J}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}))}$

Aplicando as mesmas identidades que con ${\displaystyle {\vec {E}}}$ e sabendo que ${\displaystyle {\vec {J}}}$, tamén é cero, quédanos:

${\displaystyle -\nabla ^{2}{\vec {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\vec {E}})}$

Substituíndo ${\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}}$ e igualando a cero, temos a ecuación de onda para ${\displaystyle {\vec {B}}}$.

${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {B}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}=0}$