Función aritmética

En teoría de números, unha función aritmética, ou función de teoría de números^{[1] [2]} é xeralmente calquera función f(n) cuxo dominio son os enteiros positivos e cuxo rango é un subconxunto dos números complexos.^[3][4][5] Hardy e Wright inclúen na súa definición o requisito de que unha función aritmética "expresa algunha propiedade aritmética de n".^[6] Hai unha clase máis grande de funcións de teoría de números que non se axustan a esta definición, por exemplo, as funcións de contaxe de primos. Este artigo ofrece ligazóns a funcións de ambas as clases.

Un exemplo de función aritmética é a función divisor cuxo valor para un número enteiro positivo n é igual ao número de divisores de n.

As funcións aritméticas adoitan ser extremadamente irregulares (ver táboa embaixo), mais algunhas delas teñen expansións en serie en termos da suma de Ramanujan.

Funcións multiplicativas e aditivas

Unha función aritmética "a" pode ser

• completamente aditiva se a (mn) = a (m) + a(n) para todos os números naturais m e n;
• completamente multiplicativa se a (mn) = a(m) a(n) para todos os números naturais m e n;

Dous números enteiros m e n chámanse coprimos se o seu máximo común divisor é 1, é dicir, se non hai ningún número primo que divida a ambos os dous.

Daquela unha función aritmética pode ser

• aditiva se a (mn) = a(m) + a(n) para todos os números naturais primos m e n ;
• multiplicativa se a(mn) = a(m) a(n) para todos os números naturais primos m e n.

Notación

Neste artigo, ${\textstyle \sum _{p}f(p)}$ e ${\textstyle \prod _{p}f(p)}$ significan que a suma ou produto está feito sobre todos os números primos: $${\displaystyle \sum _{p}f(p)=f(2)+f(3)+f(5)+\cdots }$$ e $${\displaystyle \prod _{p}f(p)=f(2)f(3)f(5)\cdots .}$$ Do mesmo xeito, ${\textstyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})}$ e ${\textstyle \prod _{p^{k}}f(p^{k})}$ significa que a suma ou produto están feitos sobre todas as potencias de primos con expoñente estritamente positivo: $${\displaystyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})=\sum _{p}\sum _{k>0}f(p^{k})=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+\cdots .}$$

As notacións ${\textstyle \sum _{d\mid n}f(d)}$ e ${\textstyle \prod _{d\mid n}f(d)}$ significa que a suma ou o produto faise sobre todos os divisores positivos de n, incluíndo 1 e n. Por exemplo, se n = 12, entón $${\displaystyle \prod _{d\mid 12}f(d)=f(1)f(2)f(3)f(4)f(6)f(12).}$$

As notacións pódense combinar: ${\textstyle \sum _{p\mid n}f(p)}$ e ${\textstyle \prod _{p\mid n}f(p)}$ significa que a suma ou o produto faise sobre todos os divisores primos de n. Por exemplo, se n = 18, entón $${\displaystyle \sum _{p\mid 18}f(p)=f(2)+f(3),}$$e do mesmo xeito ${\textstyle \sum _{p^{k}\mid n}f(p^{k})}$ e ${\textstyle \prod _{p^{k}\mid n}f(p^{k})}$ significan que a suma ou o produto están feitos sobre todas as potencias de primos que dividen n. Por exemplo, se n = 24, entón $${\displaystyle \prod _{p^{k}\mid 24}f(p^{k})=f(2)f(3)f(4)f(8).}$$

Ω(n), ω (n), ν_p( n), descomposición en potencias de primos

O teorema fundamental da aritmética estabelece que calquera número enteiro positivo n pode representarse unicamente como un produto de potencias de números primos: ${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$ onde p ₁ < p ₂ < ... < p _k son primos e os a_j son enteiros positivos.

Moitas veces é conveniente escribir isto como un produto infinito sobre todos os primos, onde todos, menos un número finito, teñen un expoñente cero. Defínese a valoración p-ádica ν_p (n) como o expoñente da maior potencia do primo p que divide n. É dicir, se p é un dos p_i entón ν_p (n) = a_i, se non é cero. Logo$${\displaystyle n=\prod _{p}p^{\nu _{p}(n)}.}$$

En termos do anterior, as funcións omega de números primos ω e Ω defínense por

${\displaystyle \omega (n)=k}$,

${\displaystyle \Omega (n)=a_{1}+a_{2}+...+a_{k}}$.  

Para evitar a repetición, sempre que sexa posíbel as fórmulas para as funcións enumeradas neste artigo danse en termos de n e os correspondentes p_i, a_i, ω e Ω.

Exemplo para ${\displaystyle n=1620=2^{2}\cdot 3^{4}\cdot 5}$:

${\displaystyle v_{2}(1620)=2,\ v_{3}(1620)=4,\ v_{5}(1620)=1,\ \omega (1620)=3,\Omega (1620)=7}$

Funcións multiplicativas

σ_k(n), d(n), sumas de divisores

σ_k(n) (función divisor) é a suma das k-ésimas potencias dos divisores positivos de n, incluíndo 1 e n, onde k é un número complexo.

σ₁(n), é a suma dos divisores (positivos) de n, adoita denotarse por σ(n) .

Dado que un número positivo para a potencia cero é 1, temos que σ₀(n) é polo tanto o número de divisores (positivos) de n; adoita denotarse por d(n).

$${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{\omega (n)}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)k}-1}{p_{i}^{k}-1}}=\prod _{i=1}^{\omega (n)}\left(1+p_{i}^{k}+p_{i}^{2k}+\cdots +p_{i}^{a_{i}k}\right).}$$

Facendo k = 0 no segundo produto dá $${\displaystyle d(n)=(1+a_{1})(1+a_{2})\cdots (1+a_{\omega (n)}).}$$

φ(n), Función totiente de Euler

φ(n), a función totiente de Euler, é o número de enteiros positivos non maiores que n que son coprimos con n.

J_k (n), Función totiente de Jordan

J_k(n), a función totiente de Jordan, é o número de k-tuplas de enteiros positivos todos menores ou iguais a n que forman unha tupla coprima (k + 1) xunto con n. É unha xeneralización do totiente de Euler, φ(n) = J₁(n) . $${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)=n^{k}\left({\frac {p_{1}^{k}-1}{p_{1}^{k}}}\right)\left({\frac {p_{2}^{k}-1}{p_{2}^{k}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}^{k}-1}{p_{\omega (n)}^{k}}}\right).}$$

μ( n ), Función de Möbius

μ(n), a función de Möbius, é importante debido á fórmula de inversión de Möbius.

$${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\text{se }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\text{se }}\;\omega (n)\neq \Omega (n).\end{cases}}}$$

Isto implica que μ(1) = 1. (Porque Ω(1) = ω(1) = 0.)

${\displaystyle \mathbf {\tau } }$(n), función tau de Ramanujan

${\displaystyle \mathbf {\tau } }$(n), a función tau de Ramanujan, defínese pola identidade da súa función xeradora:

$${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}.}$$

É difícil dicir exactamente que "propiedade aritmética de n expresa" ^[7] (sería ${\displaystyle \tau (n)}$ é (2π) ⁻¹² veces o n-ésimo coeficiente de Fourier na expansión q da función discriminante modular)^[8] (aparece nalgúns casos nos coeficientes da expansión de formas modulares).

c _q ( n ), suma de Ramanujan

c_q(n), a suma de Ramanujan, é a suma das potencias n-ésimas das raíces q-ésimos primitivas da unidade: $${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{\stackrel {1\leq a\leq q}{\gcd(a,q)=1}}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n}.}$$

Aínda que se define como unha suma de números complexos (irracionais para a maioría dos valores de q), é un número enteiro. Para un valor fixo de n é multiplicativo en q:

Se q e r son primos primos, entón ${\displaystyle c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).}$

ψ ( n ), función psi de Dedekind

A función psi de Dedekind, usada na teoría das funcións modulares, defínese pola fórmula $${\displaystyle \psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right).}$$

Funcións completamente multiplicativas

λ(n), función de Liouville

λ(n), a función de Liouville, defínese por $${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.}$$

χ(n), caracteres

Todos os caracteres de Dirichlet χ(n) son completamente multiplicativos. Dous caracteres teñen notacións especiais:

O carácter principal (mod n) denótase por χ₀(a)). Defínese como $${\displaystyle \chi _{0}(a)={\begin{cases}1&{\text{se }}\gcd(a,n)=1,\\0&{\text{se }}\gcd(a,n)\neq 1.\end{cases}}}$$

O carácter cadrático (mod n) denótase co símbolo de Jacobi para n impar (non está definido para n par): $${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{a_{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{a_{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{\omega (n)}}}\right)^{a_{\omega (n)}}.}$$

Nesta fórmula ${\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})}$ é o símbolo de Legendre, definido para todos os números enteiros a e todos os primos impares p por $${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{se }}a\equiv 0{\pmod {p}},\\+1&{\text{se }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ e para algun enteiro }}x,\;a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&{\text{se non existe tal }}x.\end{cases}}}$$

Seguindo a convención normal para o produto baleiro, ${\displaystyle \left({\frac {a}{1}}\right)=1.}$

Funcións aditivas

ω (n), divisores primos distintos

ω( n ), definido anteriormente como o número de números primos distintos que dividen a n, é aditiva.

Funcións completamente aditivas

Ω( n ), divisores primos

Ω(n), definido anteriormente como o número de factores primos de n contados con multiplicidades, é completamente aditiva.

ν_p(n), valoración p-ádica dun número enteiro n

Para un primo fixo p, ν_p(n), definida anteriormente como o expoñente da maior potencia de p dividindo n, é completamente aditiva.

Derivada logarítmica

${\displaystyle \operatorname {ld} (n)={\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}}$, onde ${\displaystyle D(n)}$ é a derivada aritmética.

Primeiros 100 valores dalgunhas funcións aritméticas

n	factorización	${\displaystyle \varphi }$(n)	ω(n)	Ω(n)	${\displaystyle \lambda }$(n)	${\displaystyle \mu }$(n)	${\displaystyle \Lambda }$(n)	π(n)	${\displaystyle \sigma }$0(n)	${\displaystyle \sigma }$1(n)	${\displaystyle \sigma }$2(n)	r2(n)	r3(n)	r4(n)
1	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	4	6	8
2	2	1	1	1	−1	−1	0.69	1	2	3	5	4	12	24
3	3	2	1	1	−1	−1	1.10	2	2	4	10	0	8	32
4	2^2	2	1	2	1	0	0.69	2	3	7	21	4	6	24
5	5	4	1	1	−1	−1	1.61	3	2	6	26	8	24	48
6	2 · 3	2	2	2	1	1	0	3	4	12	50	0	24	96
7	7	6	1	1	−1	−1	1.95	4	2	8	50	0	0	64
8	2^3	4	1	3	−1	0	0.69	4	4	15	85	4	12	24
9	3^2	6	1	2	1	0	1.10	4	3	13	91	4	30	104
10	2 · 5	4	2	2	1	1	0	4	4	18	130	8	24	144
11	11	10	1	1	−1	−1	2.40	5	2	12	122	0	24	96
12	2^2 · 3	4	2	3	−1	0	0	5	6	28	210	0	8	96
13	13	12	1	1	−1	−1	2.56	6	2	14	170	8	24	112
14	2 · 7	6	2	2	1	1	0	6	4	24	250	0	48	192
15	3 · 5	8	2	2	1	1	0	6	4	24	260	0	0	192
16	2^4	8	1	4	1	0	0.69	6	5	31	341	4	6	24
17	17	16	1	1	−1	−1	2.83	7	2	18	290	8	48	144
18	2 · 3^2	6	2	3	−1	0	0	7	6	39	455	4	36	312
19	19	18	1	1	−1	−1	2.94	8	2	20	362	0	24	160
20	2^2 · 5	8	2	3	−1	0	0	8	6	42	546	8	24	144
21	3 · 7	12	2	2	1	1	0	8	4	32	500	0	48	256
22	2 · 11	10	2	2	1	1	0	8	4	36	610	0	24	288
23	23	22	1	1	−1	−1	3.14	9	2	24	530	0	0	192
24	2^3 · 3	8	2	4	1	0	0	9	8	60	850	0	24	96
25	5^2	20	1	2	1	0	1.61	9	3	31	651	12	30	248
26	2 · 13	12	2	2	1	1	0	9	4	42	850	8	72	336
27	3^3	18	1	3	−1	0	1.10	9	4	40	820	0	32	320
28	2^2 · 7	12	2	3	−1	0	0	9	6	56	1050	0	0	192
29	29	28	1	1	−1	−1	3.37	10	2	30	842	8	72	240
30	2 · 3 · 5	8	3	3	−1	−1	0	10	8	72	1300	0	48	576
31	31	30	1	1	−1	−1	3.43	11	2	32	962	0	0	256
32	2^5	16	1	5	−1	0	0.69	11	6	63	1365	4	12	24
33	3 · 11	20	2	2	1	1	0	11	4	48	1220	0	48	384
34	2 · 17	16	2	2	1	1	0	11	4	54	1450	8	48	432
35	5 · 7	24	2	2	1	1	0	11	4	48	1300	0	48	384
36	2^2 · 3^2	12	2	4	1	0	0	11	9	91	1911	4	30	312
37	37	36	1	1	−1	−1	3.61	12	2	38	1370	8	24	304
38	2 · 19	18	2	2	1	1	0	12	4	60	1810	0	72	480
39	3 · 13	24	2	2	1	1	0	12	4	56	1700	0	0	448
40	2^3 · 5	16	2	4	1	0	0	12	8	90	2210	8	24	144
41	41	40	1	1	−1	−1	3.71	13	2	42	1682	8	96	336
42	2 · 3 · 7	12	3	3	−1	−1	0	13	8	96	2500	0	48	768
43	43	42	1	1	−1	−1	3.76	14	2	44	1850	0	24	352
44	2^2 · 11	20	2	3	−1	0	0	14	6	84	2562	0	24	288
45	3^2 · 5	24	2	3	−1	0	0	14	6	78	2366	8	72	624
46	2 · 23	22	2	2	1	1	0	14	4	72	2650	0	48	576
47	47	46	1	1	−1	−1	3.85	15	2	48	2210	0	0	384
48	2^4 · 3	16	2	5	−1	0	0	15	10	124	3410	0	8	96
49	7^2	42	1	2	1	0	1.95	15	3	57	2451	4	54	456
50	2 · 5^2	20	2	3	−1	0	0	15	6	93	3255	12	84	744
51	3 · 17	32	2	2	1	1	0	15	4	72	2900	0	48	576
52	2^2 · 13	24	2	3	−1	0	0	15	6	98	3570	8	24	336
53	53	52	1	1	−1	−1	3.97	16	2	54	2810	8	72	432
54	2 · 3^3	18	2	4	1	0	0	16	8	120	4100	0	96	960
55	5 · 11	40	2	2	1	1	0	16	4	72	3172	0	0	576
56	2^3 · 7	24	2	4	1	0	0	16	8	120	4250	0	48	192
57	3 · 19	36	2	2	1	1	0	16	4	80	3620	0	48	640
58	2 · 29	28	2	2	1	1	0	16	4	90	4210	8	24	720
59	59	58	1	1	−1	−1	4.08	17	2	60	3482	0	72	480
60	2^2 · 3 · 5	16	3	4	1	0	0	17	12	168	5460	0	0	576
61	61	60	1	1	−1	−1	4.11	18	2	62	3722	8	72	496
62	2 · 31	30	2	2	1	1	0	18	4	96	4810	0	96	768
63	3^2 · 7	36	2	3	−1	0	0	18	6	104	4550	0	0	832
64	2^6	32	1	6	1	0	0.69	18	7	127	5461	4	6	24
65	5 · 13	48	2	2	1	1	0	18	4	84	4420	16	96	672
66	2 · 3 · 11	20	3	3	−1	−1	0	18	8	144	6100	0	96	1152
67	67	66	1	1	−1	−1	4.20	19	2	68	4490	0	24	544
68	2^2 · 17	32	2	3	−1	0	0	19	6	126	6090	8	48	432
69	3 · 23	44	2	2	1	1	0	19	4	96	5300	0	96	768
70	2 · 5 · 7	24	3	3	−1	−1	0	19	8	144	6500	0	48	1152
71	71	70	1	1	−1	−1	4.26	20	2	72	5042	0	0	576
72	2^3 · 3^2	24	2	5	−1	0	0	20	12	195	7735	4	36	312
73	73	72	1	1	−1	−1	4.29	21	2	74	5330	8	48	592
74	2 · 37	36	2	2	1	1	0	21	4	114	6850	8	120	912
75	3 · 5^2	40	2	3	−1	0	0	21	6	124	6510	0	56	992
76	2^2 · 19	36	2	3	−1	0	0	21	6	140	7602	0	24	480
77	7 · 11	60	2	2	1	1	0	21	4	96	6100	0	96	768
78	2 · 3 · 13	24	3	3	−1	−1	0	21	8	168	8500	0	48	1344
79	79	78	1	1	−1	−1	4.37	22	2	80	6242	0	0	640
80	2^4 · 5	32	2	5	−1	0	0	22	10	186	8866	8	24	144
81	3^4	54	1	4	1	0	1.10	22	5	121	7381	4	102	968
82	2 · 41	40	2	2	1	1	0	22	4	126	8410	8	48	1008
83	83	82	1	1	−1	−1	4.42	23	2	84	6890	0	72	672
84	2^2 · 3 · 7	24	3	4	1	0	0	23	12	224	10500	0	48	768
85	5 · 17	64	2	2	1	1	0	23	4	108	7540	16	48	864
86	2 · 43	42	2	2	1	1	0	23	4	132	9250	0	120	1056
87	3 · 29	56	2	2	1	1	0	23	4	120	8420	0	0	960
88	2^3 · 11	40	2	4	1	0	0	23	8	180	10370	0	24	288
89	89	88	1	1	−1	−1	4.49	24	2	90	7922	8	144	720
90	2 · 3^2 · 5	24	3	4	1	0	0	24	12	234	11830	8	120	1872
91	7 · 13	72	2	2	1	1	0	24	4	112	8500	0	48	896
92	2^2 · 23	44	2	3	−1	0	0	24	6	168	11130	0	0	576
93	3 · 31	60	2	2	1	1	0	24	4	128	9620	0	48	1024
94	2 · 47	46	2	2	1	1	0	24	4	144	11050	0	96	1152
95	5 · 19	72	2	2	1	1	0	24	4	120	9412	0	0	960
96	2^5 · 3	32	2	6	1	0	0	24	12	252	13650	0	24	96
97	97	96	1	1	−1	−1	4.57	25	2	98	9410	8	48	784
98	2 · 7^2	42	2	3	−1	0	0	25	6	171	12255	4	108	1368
99	3^2 · 11	60	2	3	−1	0	0	25	6	156	11102	0	72	1248
100	2^2 · 5^2	40	2	4	1	0	0	25	9	217	13671	12	30	744
n	factorización	${\displaystyle \varphi }$(n)	ω(n)	Ω(n)	${\displaystyle \lambda }$(n)	${\displaystyle \mu }$(n)	${\displaystyle \Lambda }$(n)	π(n)	${\displaystyle \sigma }$0(n)	${\displaystyle \sigma }$1(n)	${\displaystyle \sigma }$2(n)	r2(n)	r3(n)	r4(n)

Notas

1. Long (1972, p. 151)
2. Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 58)
3. Niven & Zuckerman, 4.2.
4. Nagell, I.9.
5. Bateman & Diamond, 2.1.
6. Hardy & Wright, intro. to Ch. XVI
7. Hardy, Ramanujan, § 10.2
8. Apostol, Modular Functions ..., § 1.15, Ch. 4, and ch. 6

Véxase tamén

Bibliografía

• Tom M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Undergraduate Texts in Mathematics. ISBN 0-387-90163-9. 
• Apostol, Tom M. (1989). Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory (2nd Edition). New York: Springer. ISBN 0-387-97127-0. 
• Bateman, Paul T.; Diamond, Harold G. (2004). Analytic number theory, an introduction. World Scientific. ISBN 978-981-238-938-1. 
• Cohen, Henri (1993). A Course in Computational Algebraic Number Theory. Berlin: Springer. ISBN 3-540-55640-0. 
• Edwards, Harold (1977). Fermat's Last Theorem. New York: Springer. ISBN 0-387-90230-9. 
• Hardy, G. H. (1999). Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by his Life and work. Providence RI: AMS / Chelsea. ISBN 978-0-8218-2023-0. hdl:10115/1436. 
• Jameson, G. J. O. (2003). The Prime Number Theorem. Cambridge University Press. ISBN 0-521-89110-8. 
• Koblitz, Neal (1984). Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. New York: Springer. ISBN 0-387-97966-2. 
• Landau, Edmund (1966). Elementary Number Theory. New York: Chelsea. 
• William J. LeVeque (1996). Fundamentals of Number Theory. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-68906-9. 
• Long, Calvin T. (1972). Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.). Lexington: D. C. Heath and Company. LCCN 77-171950. 
• Elliott Mendelson (1987). Introduction to Mathematical Logic. CRC Press. ISBN 0-412-80830-7. 
• Nagell, Trygve (1964). Introduction to number theory (2nd Edition). Chelsea. ISBN 978-0-8218-2833-5. 
• Niven, Ivan M.; Zuckerman, Herbert S. (1972). An introduction to the theory of numbers (3rd Edition). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-64154-5. 
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970). Elements of Number Theory. Englewood Cliffs: Prentice Hall. LCCN 77-81766. 
• Ramanujan, Srinivasa (2000). Collected Papers. Providence RI: AMS / Chelsea. ISBN 978-0-8218-2076-6. 
• Williams, Kenneth S. (2011). Number theory in the spirit of Liouville. London Mathematical Society Student Texts 76. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-17562-3. Zbl 1227.11002. 

Outros artigos

• Lista de funcións matemáticas.

Ligazóns externas

• "Arithmetic function". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 
• Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble Yet another Generalization of Euler's Totient Function
• Huard, Ou, Spearman, and Williams. Elementary Evaluation of Certain Convolution Sums Involving Divisor Functions
• Dineva, Rosica, The Euler Totient, the Möbius, and the Divisor Functions Arquivado 2021-01-16 en Wayback Machine.
• László Tóth, Menon's Identity and arithmetical sums representing functions of several variables