Gramiano de controlabilidade

En control de procesos, o Gramiano de controlabilidade é un Gramiano que se usa para determinar se un sistema lineal é controlábel. Para un sistema lineal e constante:

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu}$

o Gramiano de controlabilidade defínese como:

${\displaystyle W_{c}(t)=\int \limits _{0}^{t}e^{A\tau }BB^{T}e^{A^{T}\tau }d\tau =\int \limits _{0}^{t}e^{A(t-\tau )}BB^{T}e^{A^{T}(t-\tau )}d\tau }$

Se a matriz ${\displaystyle W_{c}}$ é non singular, é dicir ${\displaystyle W_{c}}$ ten rango n (sendo n menor de entre o número de columnas ou filas), para todo ${\displaystyle t>0}$, dise entón que o par ${\displaystyle (A,B)}$ é controlábel.

Sistemas lineais invariantes no tempo de forma

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)}$,

${\displaystyle y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)}$

son controlabeis no intervalo ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ se as filas da matriz produto ${\displaystyle \Phi (t_{0},\tau )B(\tau )}$, onde ${\displaystyle \Phi }$ é a matriz de transmisión de estado, son linealmente independentes. O Gramiano úsase para demostrar a independencia linear de ${\displaystyle \Phi (t_{0},\tau )B(\tau )}$. Para ser linealmente independente, a matriz Gramiana ${\displaystyle W_{c}}$ ten que ser invertíbel.

${\displaystyle W_{c}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}\Phi (t_{0},\tau )B(\tau )B^{T}(\tau )\Phi ^{T}(t_{0},\tau )d\tau }$