Kernel (álxebra)

Kernel e imaxe dun operador linear ${\displaystyle L:V\to W}$.

En álxebra, o kernel (núcleo en alemán) dun homomorfismo (función que conserva a estrutura) é xeralmente a imaxe inversa de 0 (agás para os grupos cuxa operación se denota multiplicativamente, onde o kernel é a imaxe inversa de 1). Un caso especial importante é o kernel dun mapa linear. O núcleo dunha matriz, tamén chamado espazo nulo, é o kernel do mapa linear definido pola matriz.

O kernel dun homomorfismo redúcese a 0 (ou 1) se e só se o homomorfismo é inxectivo, é dicir, se a imaxe inversa de cada elemento consta dun só elemento. Isto significa que o kernel pode ser visto como unha medida do grao en que o homomorfismo non é inxectivo.^[1]

Para algúns tipos de estrutura, como os grupos abelianos e os espazos vectoriais, os kernels posíbeis son exactamente as subestruturas do mesmo tipo. Non sempre é así e, ás veces, os posébeis kernels recibiron un nome especial, como subgrupo normal para grupos e ideais polos dous lados para aneis.

Os kernels permiten definir obxectos cocientes (tamén chamados álxebras cocientes en álxebra universal, e cokernels na teoría de categorías). Para moitos tipos de estrutura alxébrica, o teorema fundamental dos homomorfismos (ou primeiro teorema do isomorfismo) afirma que a imaxe dun homomorfismo é isomórfica ao cociente do kernel.

O concepto de kernel estendeuse a estruturas de tal xeito que a imaxe inversa dun só elemento non é suficiente para decidir se un homomorfismo é inxectivo. Nestes casos, o kernel é unha relación de congruencia.

Este artigo é un repasiño para algúns tipos importantes de kernels en estruturas alxébricas.

Exemplo de álxebra linear sinxelo

O seguinte é un exempliño sinxelo do cálculo do núcleo dunha matriz. O exemplo tamén toca o espazo de filas e a súa relación co núcleo.

Considere a matriz ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.}$

O núcleo desta matriz está formado por todos os vectores (x, y, z) ∈ R³ para os que

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

que se pode expresar como un sistema homoxéneo de ecuacións lineares que inclúen x, y e z:

${\displaystyle {\begin{aligned}2x+3y+5z&=0,\\-4x+2y+3z&=0.\end{aligned}}}$

As mesmas ecuacións lineares tamén se poden escribir en forma matricial como:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].}$

Mediante a eliminación de Gauss-Jordan, a matriz pódese reducir a:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].}$

Reescribindo a matriz en forma de ecuación obtemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {1}{16}}z\\y&=-{\frac {13}{8}}z.\end{aligned}}}$

Os elementos do núcleo pódense expresar tamén en forma vectorial paramétrica, como segue:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}\quad ({\text{onde }}c\in \mathbb {R} )}$

Dado que c é unha variábel libre que vai sobre todos os números reais, isto pódese expresar igualmente como:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.}$

O núcleo de A é precisamente o conxunto de solucións para estas ecuacións (neste caso, unha liña que pasa pola orixe en R³). Aquí, posto que o vector (−1,−26,16)^T constitúe unha base do núcleo de A, a nulidade de A vale 1.

Os seguintes produtos escalares son cero:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad \mathrm {e} \quad {\begin{bmatrix}-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0,}$

que ilustra como os vectores do núcleo de A son ortogonais a cada un dos vectores fila de A .

Estes dous vectores fila (linearmente independentes) abranguen o espazo de filas de A, un plano ortogonal ao vector (−1,−26,16)^T.

Co rango 2 de A, a nulidade 1 de A e a dimensión 3 de A, temos unha ilustración do teorema do rango.

Unha ollada de algúns outros exemplos

Mapas lineares

Artigo principal: Kernel_(álxebra_linear).

Sexan V e W espazos vectoriais sobre un corpo (ou máis en xeral, módulos sobre un anel) e sexa T un mapa linear de V en W. Se 0_W é o vector cero de W, entón o kernel de T é a preimaxe do subespazo cero {0_W }; é dicir, o subconxunto de V formado por todos aqueles elementos de V que son asignados por T ao elemento 0_W. O kernel adoita denotarse como ker T, ou algunha variación do mesmo:

${\displaystyle \ker T=\{\mathbf {v} \in V:T(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}\}.}$

Dado que un mapa linear conserva os vectores cero, o vector cero 0_V de V debe pertencer ao kernel. A transformación T é inxectiva se e só se o seu kernel redúcese ao subespazo cero.

O kernel de T é sempre un subespazo linear de V. Así, ten sentido falar do espazo cociente V / (ker T). O primeiro teorema de isomorfismo para espazos vectoriais afirma que este espazo cociente é un isomorfo natural á imaxe de T (que é un subespazo de W ). Como consecuencia, a dimensión de V é igual á dimensión do kernel máis a dimensión da imaxe.

Se V e W son de dimensión finita e con bases determinadas, daquela T pódese describir mediante unha matriz M, e o kernel pódese calcular resolvendo o sistema homoxéneo de ecuacións lineares Mv = 0. Neste caso, o kernel de T pódese identificar co núcleo da matriz M, tamén chamado "espazo nulo" de M. A dimensión do espazo nulo, chamado nulidade de M, vén dada polo número de columnas de M menos o rango de M, como consecuencia do teorema do kernel e a imaxe.

Resolver ecuacións diferenciais homoxéneas a miúdo equivale a calcular o kernel de certos operadores diferenciais.

Por exemplo, para atopar todas as funcións dúas veces diferenciábeis f desde a recta real ata si mesma de xeito que

${\displaystyle xf''(x)+3f'(x)=f(x),}$

sexa V o espazo de todas as funcións dúas veces diferenciábeis, sexa W o espazo de todas as funcións e definimos un operador linear T de V a W como

${\displaystyle (Tf)(x)=xf''(x)+3f'(x)-f(x)}$

para f en V e x un número real arbitrario. Entón todas as solucións da ecuación diferencial están en ker T.

Pódense definir kernels para homomorfismos entre módulos sobre un anel dun xeito análogo. Isto inclúe kernels para homomorfismos entre grupos abelianos como un caso especial. Este exemplo recolle a esencia dos kernels en categorías abelianas xenéricas; ver Kernel (teoría das categorías).

Homomorfismos de grupos

Sexan G e H grupos e f un homomorfismo de grupos de G a H . Se e_H é o elemento de identidade de H, entón o kernel de f é a preimaxe do conxunto unitario { e_H }; é dicir, o subconxunto de G formado por todos aqueles elementos de G que están asignados por f ao elemento e_H.

O kernel adoita denotarse ker f . En símbolos:

${\displaystyle \ker f=\{g\in G:f(g)=e_{H}\}.}$

Dado que un homomorfismo de grupos conserva os elementos identidade, o elemento identidade e_G de G debe pertencer ao kernel.

O homomorfismo f é inxectivo se e só se o seu kernel é só o conxunto unitario { e_G }. Se f non fose inxectiva, entón os elementos non inxectivos poden formar un elemento distinto do seu kernel: existirían a, b ∈ G tal que a ≠ b e f(a) = f(b). Así f(a)f(b)⁻¹ = e_H. f é un homomorfismo de grupos, polo que se conservan as inversas e as operacións do grupo, dando f(ab⁻¹) = e_H; noutras palabras, ab⁻¹ ∈ ker f, e ker f non sería o unitario. Pola contra, distintos elementos do kernel violan a inxectividade directamente: se existise un elemento g ≠ e_G ∈ ker f, daquela f(g) = f(e_G) = e_H, polo que f non sería inxectivo.

ker f é un subgrupo de G e a maiores é un subgrupo normal. Así, existe un grupo cociente correspondente G / (ker f). Este grupo é isomorfo con f(G), a imaxe de G baixo f (que é tamén un subgrupo de H), polo primeiro teorema de isomorfismo para grupos.

No caso especial dos grupos abelianos, non hai ningunha variación con relación ao apartado anterior.

Exemplo

Sexa G o grupo cíclico de 6 elementos {0, 1, 2, 3, 4, 5} con suma modular, sexa H o grupo cíclico de 2 elementos {0, 1} con suma modular e f o homomorfismo que mapea cada elemento g de G no elemento g módulo 2 en H. Daquela ker f = {0, 2, 4}, xa que todos estes elementos están asignados a 0_H. O grupo cociente G / (ker f) ten dous elementos: {0, 2, 4} e {1, 3, 5}. De feito este grupo cociente G / (ker f) é isomorfo a H.

Homomorfismos de aneis

Sexan R e S aneis (asumidos unitarios) e sexa f un homomorfismo de aneis de R a S. Se 0_S é o elemento cero de S, entón o kernel de f é o seu kernel como mapa linear sobre os enteiros ou, de forma equivalente, como grupos aditivos. É a preimaxe do ideal cero {0_S} , é dicir, o subconxunto de R formado por todos aqueles elementos de R que están asignados por f ao elemento 0_S. O kernel adoita denotarse ker f. En símbolos:

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\{r\in R:f(r)=0_{S}\}.}$

Dado que un homomorfismo de aneis conserva os elementos cero, o elemento cero 0_R de R debe pertencer ao kernel. O homomorfismo f é inxectivo se e só se o seu kernel é só o conxunto unitario {0_R}. Este é sempre así cando R é un corpo e S non é o anel cero.

Dado que ker f contén a identidade multiplicativa só cando S é o anel cero, resulta que o kernel xeralmente non é un subanel de R. O kernel é un subrng e, máis precisamente, un ideal polos dous lados de R. Así, ten sentido falar do anel cociente R / (ker f). O primeiro teorema de isomorfismo para aneis afirma que este anel cociente é naturalmente isomorfo á imaxe de f (que é un subanel de S). (Teña en conta que os aneis non necesitan ser unitarios para a definición de kernel).

Ata certo punto, isto pódese considerar como un caso especial da situación dos módulos, xa que todos estes son bimódulos sobre un anel R:

• R en si;
• calquera ideal polos dous lados de R (como ker f);
• calquera anel cociente de R (como R / (ker f) ); e
• o codominio de calquera homomorfismo de aneis cuxo dominio sexa R (como S, o codominio de f).

Porén, o teorema do isomorfismo dá un resultado máis forte, porque os isomorfismos de aneis preservan a multiplicación mentres que os isomorfismos de módulos (mesmo entre aneis) en xeral non.

Este exemplo capta a esencia dos kernels das álxebras de Mal'cev.

Álxebra universal

Todos os casos anteriores poden unificarse e xeneralizarse na álxebra universal.

Caso xeral

Sexan A e B estruturas alxébricas dun tipo dado e sexa f un homomorfismo dese tipo de A a B. Entón o kernel de f é o subconxunto do produto directo A × A que consiste en todos aqueles pares ordenados de elementos de A cuxos compoñentes están mapeados por f para un mesmo elemento en B. O kernel adoita denotarse ker f. En símbolos:

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\left\{\left(a,a'\right)\in A\times A:f(a)=f\left(a'\right)\right\}{\mbox{.}}}$

Dado que f é unha función, os elementos da forma (a, a) deben pertencer ao kernel.

O homomorfismo f é inxectivo se e só se o seu kernel é exactamente o conxunto diagonal {(a, a) : a ∈ A} .

É fácil ver que ker f é unha relación de equivalencia en A, e de feito unha relación de congruencia. Así, ten sentido falar da álxebra cociente A / (ker f). O primeiro teorema de isomorfismo en álxebra universal xeral afirma que esta álxebra cociente é naturalmente isomorfa á imaxe de f (que é unha subálxebra de B).

Teña en conta que a definición de kernel aquí non depende da estrutura alxébrica; é un concepto puramente teórico de conxuntos. Para obter máis información sobre este concepto xeral, fóra da álxebra abstracta, consulte Kernel dunha función.

Álxebras con estrutura non alxébrica engadida

Ás veces, as álxebras están equipadas cunha estrutura non alxébrica a maiores das súas operacións alxébricas. Por exemplo, pódesse considerar os grupos topolóxicos ou os espazos vectoriais topolóxicos, que están equipados cunha topoloxía. Neste caso, esperaríamos que o homomorfismo f conservase esta estrutura adicional; nos exemplos topolóxicos, desexaríamos que f fose un mapa continuo. O proceso pode atopar un inconveniente coas álxebras cocientes, que quizais non se comporten ben. Nos exemplos topolóxicos, podemos evitar problemas esixindo que as estruturas alxébricas topolóxicas sexan de tipo Hausdorff (como se fai habitualmente); daquela o kernel (sexa como sexa que estea construído) será un conxunto pechado e o espazo cociente funcionará ben (e tamén será un espazo de Hausdorff).

Kernels na teoría das categorías

A noción de kernel na teoría das categorías é unha xeneralización dos kernels das álxebras abelianas; ver Kernel (teoría das categoría) . A xeneralización categórica do kernel como relación de congruencia é o par kernel . (Tamén existe a noción de kernel diferenza ou ecualizador binario).

Notas

1. Ver Dummit & Foote (2004) e Lang (2002).

Véxase tamén

Bibliografía

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-43334-9. 
• Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X. 

Outros artigos

• Grupo cociente.

Ligazóns externas

• Kernel en MathWorld.