Lema de Zorn

O lema de Zorn pódese usar para mostrar que cada gráfico conectado ten unha árbore de expansión. O conxunto de todos os subgrafos que son árbores ordénase por inclusión, e a unión dunha cadea é un elemento maiorante. O lema de Zorn di que debe existir unha árbore máximal, que é unha árbore de expansión xa que o grafo está conectado. ^[1] O lema de Zorn non é necesario para os grafos finitos, como o que se mostra aquí.

O lema de Zorn, tamén coñecido como lema de Kuratowski–Zorn, é unha proposición da teoría de conxuntos. Afirma que un conxunto parcialmente ordenado que contén elementos maiorantes para cada cadea (é dicir, cada subconxunto totalmente ordenado) contén necesariamente polo menos un elemento maximal.

O lema foi probado (asumindo o axioma de escolla) por Kazimierz Kuratowski en 1922 e de forma independente por Max Zorn en 1935. ^[2] Ocorre nas demostracións de varios teoremas de importancia crucial, por exemplo o teorema de Hahn-Banach na análise funcional, o teorema de que todo espazo vectorial ten unha base, ^[3] o teorema de Tychonoff en topoloxía que indica que todo produto de espazos compactos é compacto e os teoremas da álxebra abstracta de que nun anel con identidade todo ideal propio está contido nun ideal maximal e que cada corpo ten un pechamento alxébrico. ^[4]

Motivación

Para demostrar a existencia dun obxecto matemático que se pode ver como un elemento maximal nalgún conxunto parcialmente ordenado dalgún xeito, pódese probar a existencia de tal obxecto supoñendo que non hai ningún elemento maximal e utilizando a indución transfinita e os supostos da situación para conseguir unha contradición. O lema de Zorn ordena as condicións que debe satisfacer unha situación para que tal argumento funcione e permite que os matemáticos non teñan que repetir a man o argumento de indución transfinito cada vez, senón que só comproben as condicións do lema de Zorn.  

Enunciado do lema

Nocións preliminares:

• Un conxunto P equipado cunha relación binaria ≤ que é reflexiva (x ≤ x para cada x), antisimétrica (se x ≤ y e y ≤ x se manteñen, entón x = y ) e transitiva (se x ≤ y e y ≤ z entón x ≤ z) dise que está (parcialmente) ordenado por ≤. Dados dous elementos x e y de P con x ≤ y, dise que y é maior ou igual a x. A palabra "parcial" pretende indicar que non todos os pares de elementos dun conxunto parcialmente ordenado deben ser comparables baixo a relación de orde, é dicir, nun conxunto parcialmente ordenado P cunha relación de orde ≤ pode haber elementos x e y, sen x ≤ y nin y ≤ x. Un conxunto ordenado no que cada par de elementos é comparable chámase totalmente ordenado.
• Todo subconxunto S dun conxunto parcialmente ordenado P pode verse como parcialmente ordenado restrinxindo a relación de orde herdada de P a S. Un subconxunto S dun conxunto P parcialmente ordenado chámase cadea (en P) se está totalmente ordenado na orde herdada.
• Un elemento m dun conxunto P parcialmente ordenado con relación de orde ≤ é máximal (con respecto a ≤) se non hai outro elemento de P maior que m, é dicir, se non hai s en P con s ≠ m e m ≤ s. Dependendo da relación de orde, un conxunto parcialmente ordenado pode ter calquera número de elementos maximais. No entanto, un conxunto totalmente ordenado pode ter como moito un elemento maximal.
• Dado un subconxunto S dun conxunto parcialmente ordenado P, un elemento u de P é un elemento maiorante de S se é maior ou igual a todos os elementos de S. Aquí, S non é necesario que sexa unha cadea, e u é necesario que sexa comparable a todos os elementos de S mais non ten por que ser un elemento de S.

O lema de Zorn pódese enunciar como:

Lema de Zorn Supón que un conxunto parcialmente ordenado P ten a propiedade de que cada cadea en P ten un elemento maiorante en P. Entón o conxunto P contén polo menos un elemento maximal.

Ás veces utilízanse variantes desta formulación, como esixir que o conxunto P e as cadeas non estean baleiros. ^[5]

Lema de Zorn (para conxuntos non baleiros) Supón que un conxunto non baleiro parcialmente ordenado P ten a propiedade de que cada cadena non baleira ten un elemento maiorante en P. Entón o conxunto P contén polo menos un elemento maximal.

A diferenza pode parecer sutil, mais en moitas probas que invocan o lema de Zorn fanse unións dalgún tipo para producir un elemento maiorante, polo que se pode pasar por alto o caso da cadea baleira; é dicir, a verificación de que todas as cadeas teñen elementos maiorantes pode ter que tratar con cadeas baleiras e non baleiras por separado. Por tanto moitos autores prefiren verificar a condición de non baleiro do conxunto P antes que tratar coa cadea baleira no argumento xeral. ^[6]

Aplicacións de exemplo

Todo espazo vectorial ten unha base

O lema de Zorn pódese usar para mostrar que todo espazo vectorial V ten unha base. ^[7]

Se V = {0}, entón o conxunto baleiro é unha base para V. Agora, supoña que V ≠ { 0 }. Sexa P o conxunto formado por todos os subconxuntos linearmente independentes de V. Dado que V non é o espazo vectorial cero, existe un elemento v distinto de cero de V, polo que P contén o subconxunto linearmente independente {v}. A maiores, P está parcialmente ordenado pola inclusión do conxunto (ver orde de inclusión). Atopar un subconxunto de V linearmente independente maximal é o mesmo que atopar un elemento maximal en P.

Para aplicar o lema de Zorn, tome unha cadea T en P (é dicir, T é un subconxunto de P que está totalmente ordenado). Se T é o conxunto baleiro, entón {v} é un elemento maiorante de T en P. Supoña entón que T non é baleiro. Necesitamos demostrar que T ten un lemento maiorante, é dicir, que existe un subconxunto B linearmente independente de V que contén todos os membros de T.

Considere que B é a unión de todos os conxuntos de T. Queremos mostrar que B é un elemento maiorante de T en P. Para iso, abonda con mostrar que B é un subconxunto linearmente independente de V.

Supoña doutro xeito, que B non é linearmente independente. Entón existen vectores v₁, v₂ ,... , v_k ∈ B e escalares a₁, a₂, ... , a_k, non todos cero, tal que

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} .}$

Dado que B é a unión de todos os conxuntos de T, hai algúns conxuntos S₁, S₂ ,... , S_k ∈ T tal que v_i ∈ S_i para cada i = 1, 2,... , k. Como T está totalmente ordenada, un dos conxuntos S₁, S₂ ,... , S_k debe conter os demais, polo que hai algún conxunto S_i que contén todos os v₁, v₂, ... , v_k. Isto indícanos que hai un conxunto de vectores linearmente dependentes en S_i, contradicindo que S_i é linearmente independente (porque é un membro de P).

Comprobouse a hipótese do lema de Zorn e, polo tanto, hai un elemento maximal en P, noutras palabras, un subconxunto B de V que é maximal linearmente independente.

Finalmente, mostramos que B é realmente unha base de V. Basta con mostrar que B é un conxunto expandido de V. Supoña por contradición que B non se expande de V. Entón existe algún v ∈ V non cuberto pola expansión de B. Isto di que B ∪ {v} é un subconxunto linearmente independente de V que é maior que B, contradicindo a maximalidade de B. Polo tanto, B é un conxunto de V, e polo tanto, unha base de V.

Todo anel non trivial con unidade contén un ideal maximal

O lema de Zorn pódese usar para mostrar que todo anel non trivial R con unidade contén un ideal maximal.

Sexa P o conxunto formado por todos os ideais propios de R (é dicir, todos os ideais de R agás o propio R). Dado que R non é trivial, o conxunto P contén o ideal trivial {0}. Ademais, P está parcialmente ordenado pola inclusión de conxuntos. Atopar un ideal maximal en R é o mesmo que atopar un elemento maximal en P.

Para aplicar o lema de Zorn, tome unha cadea T en P. Se T está baleiro, entón o ideal trivial {0} é un elemento maiorante de T en P. Supoña entón que T non é baleiro. É necesario demostrar que T ten un elemento maiorante, é dicir, existe un ideal I ⊆ R que contén todos os membros de T mais menor que R (se non, non sería un ideal propio, polo que non está en P ) .

Tome I como a unión de todos os ideais en T. Queremos mostrar que I é un elemento maiorante de T en P. Primeiro mostraremos que I é un ideal de R. Para que I sexa un ideal, debe cumprir tres condicións:

1. I é un subconxunto non baleiro de R,
2. Para cada x, y ∈ I, a suma x + y está en I,
3. Para cada r ∈ R e cada x ∈ I, o produto rx está en I.

#1 - I é un subconxunto non baleiro de R.

Como T contén polo menos un elemento e ese elemento contén polo menos 0, a unión I contén polo menos 0 e non está baleira. Cada elemento de T é un subconxunto de R, polo que a unión I só consta de elementos en R.

#2 - Para cada x, y ∈ I, a suma x + y está en I.

Supoña que x e y son elementos de I. Entón existen dous ideais J, K ∈ T tal que x é un elemento de J e y é un elemento de K. Dado que T está totalmente ordenado, sabemos que J ⊆ K ou K ⊆ J . Sen perda de xeneralidade, supoña o primeiro caso. Tanto x como y son membros do ideal K, polo que a súa suma x + y é membro de K, o que mostra que x + y é membro de I.

#3 - Para cada r ∈ R e cada x ∈ I, o produto rx está en I .

Supoña que x é un elemento de I. Entón existe un ideal J ∈ T tal que x está en J. Se r ∈ R, entón rx é un elemento de J e polo tanto un elemento de I. Así, I é un ideal en R.

Agora, mostramos que I é un ideal propio. Un ideal é igual a R se e só se contén 1. (Está claro que se é R entón contén 1; por outra banda, se contén 1 e r é un elemento arbitrario de R, entón r 1 = r é un elemento do ideal, polo que o ideal é igual a R.) Entón, se I fose igual a R, entón contería 1, e iso significa que un dos membros de T contería 1 e, polo tanto, sería igual a R, pero R está explicitamente excluído de P.

Comprobouse a hipótese do lema de Zorn e, polo tanto, hai un elemento maximal en P, é dicir, un ideal maximal en R.

Formas equivalentes do lema de Zorn

O lema de Zorn é equivalente (en ZF) a tres resultados principais:

1. Principio do maximal de Hausdorff
2. Axioma de elección
3. Teorema do ben ordenado.

O lema de Zorn tamén é equivalente ao teorema de completude forte da lóxica de primeira orde. ^[8]

A maiores, o lema de Zorn (ou unha das súas formas equivalentes) implica algúns resultados importantes noutras áreas matemáticas. Por exemplo,

1. Teorema de extensión de Banach que se usa para demostrar un dos resultados máis fundamentais na análise funcional, o teorema de Hahn-Banach
2. Todo espazo vectorial ten unha base, resultado da álxebra linear (á que é equivalente ^[9] ). En particular, os números reais, como espazo vectorial sobre os números racionais, posúen unha base de Hamel.
3. Todo anel unitario conmutativo ten un ideal maximal, resultado da teoría de aneis coñecida como teorema de Krull, á que equivale o lema de Zorn ^[10]
4. Teorema de Tychonoff en topoloxía (ao que tamén é equivalente ^[11])
5. Cada filtro propio está contido nun ultrafiltro, un resultado que produce o teorema de completamento da lóxica de primeira orde ^[12]

Análogos baixo debilitamentos do axioma de escolla

Pódese probar unha forma debilitada do lema de Zorn a partir de ZF + DC (teoría de conxuntos de Zermelo–Fraenkel co axioma de elección substituído polo axioma de escolla dependente). O lema de Zorn pódese expresar de forma sinxela observando que o conxunto que non ten elemento maximal equivalería a afirmar que a relación de ordenación do conxunto sería enteira, o que nos permitiría aplicar o axioma da escolla dependente para construír unha cadea numerábel. Como resultado, calquera conxunto parcialmente ordenado con cadeas exclusivamente finitas debe ter un elemento maximal. ^[13]

Referencias no cinema

O cineasta estadounidense Hollis Frampton baseouse no Lema de Zorn para a construción do seu filme Zorns Lemma (1970).^[14]

Notas

1. Serre, Jean-Pierre (2003). Trees. Springer Monographs in Mathematics. Springer. p. 23. 
2. Moore 2013, p. 168
3. Wilansky, Albert (1964). Functional Analysis. Blaisdell. p. 23. 
4. Jeach, Thomas (2008). The Axiom of Choice. Dover Publications. p. 23. 
5. Por examplo,Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics 211 (Revised 3rd ed.). Springer-Verlag. p. 880. ISBN 978-0-387-95385-4. , Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1998). Abstract Algebra (2nd ed.). Prentice Hall. p. 875. ISBN 978-0-13-569302-5. , and Bergman, George M (2015). An Invitation to General Algebra and Universal Constructions. Universitext (2nd ed.). Springer-Verlag. p. 162. ISBN 978-3-319-11477-4. .
6. Bergman, George M (2015). An Invitation to General Algebra and Universal Constructions. Universitext (Second ed.). Springer-Verlag. p. 164. ISBN 978-3-319-11477-4. 
7. "Lema de Zorn" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 20 de marzo de 2023. Consultado o 05 de abril de 2024. 
8. J.L. Bell & A.B. Slomson (1969). Models and Ultraproducts. North Holland Publishing Company. Chapter 5, Theorem 4.3, page 103.
9. Existence of bases implies the Axiom of Choice. Contemporary Mathematics 31. 1984. pp. 31–33. ISBN 9780821850268. doi:10.1090/conm/031/763890. 
10. Krull implies Zorn. s2-19. 1979. pp. 285–287. doi:10.1112/jlms/s2-19.2.285. 
11. Kelley, John L (1950). The Tychonoff product theorem implies the axiom of choice 37. pp. 75–76. doi:10.4064/fm-37-1-75-76. 
12. J.L. Bell & A.B. Slomson (1969). Models and Ultraproducts. North Holland Publishing Company.
13. Wolk, Elliot S. On the principle of dependent choices and some forms of Zorn's lemma. Canadian Mathematical Bulletin 26. pp. 365–367. doi:10.4153/CMB-1983-062-5. 
14. MacDonald, Scott. "Vida considerada / vida experimentada: ‘Zorns Lemma’ de Hollis Frampton y ‘One Year (1970)’ y ‘Rolls: 1971’, de Robert Huot". Lumière. 

Véxase tamén

• Anticadea

Bibiografía

• Campbell, Paul J. (February 1978). The Origin of 'Zorn's Lemma'. Historia Mathematica 5. pp. 77–89. doi:10.1016/0315-0860(78)90136-2. 
• Ciesielski, Krzysztof (1997). Set Theory for the Working Mathematician. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59465-3. 
• Jech, Thomas (2008) [1973]. The Axiom of Choice. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46624-8. 
• Moore, Gregory H. (2013) [1982]. Zermelo's axiom of choice: Its origins, development & influence. Dover Publications. ISBN 978-0-486-48841-7. 

Ligazóns externas

• [1] "Zorn lemma", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Zorn's Lemma at ProvenMath contén unha proba detallada da equivalencia do axioma de escolla e o lema de Zorn.
• Zorn's Lemma en Metamath ten unha proba formal. (Unicode version navegadores recentes.)