Mapa (matemáticas)

Un mapa é unha función, como na asociación de calquera das catro formas de cores en X coa súa cor en Y

En matemáticas, un mapa é unha función no seu sentido xeral.

O termo mapa pódese usar para distinguir algúns tipos especiais de funcións, como os homomorfismos. Por exemplo, un mapa linear é un homomorfismo de espazos vectoriais, mentres que o termo función linear pode ter este significado ou pode significar un polinomio linear.^[1][2] Na teoría de categorías, un mapa pode referirse a un morfismo.^[3] O termo transformación pódese usar indistintamente,^[3] mais a transformación refírese a miúdo a unha función dun conxunto en si mesmo. Tamén hai algúns usos menos comúns en lóxica e teoría de grafos.

Mapas como funcións

En moitas ramas das matemáticas, o termo mapa úsase como sinónimo de función,^[4][5][6] ás veces cunha propiedade específica de particular importancia para esa rama. Por exemplo, un "mapa" é unha "función continua" en topoloxía, unha "transformación linear" en álxebra linear, etc.

Algúns autores, como Serge Lang,^[7] usan "función" só para referirse a mapas nos que o codominio é un conxunto de números (é dicir, un subconxunto de R ou C), e reservan o termo mapear para funcións máis xerais.

Aos mapas de certos tipos déuselles nomes específicos. Estes inclúen homomorfismos en álxebra, isometrías en xeometría, operadores en análise e representacións en teoría de grupos.^[3]

Un mapa parcial é unha función parcial. A terminoloxía relacionada como dominio, codominio, inxectivo e continuo pódese aplicar igualmente a mapas e funcións, co mesmo significado. Todos estes usos pódense aplicar aos "mapas" como funcións xerais ou como funcións con propiedades especiais.

Como morfismos

Na teoría de categorías, "mapa" úsase a miúdo como sinónimo de "morfismo" ou "frecha", que é unha función que respecta a estrutura e, polo tanto, pode implicar máis estrutura que "función".^[8] Por exemplo, un morfismo ${\displaystyle f:\,X\to Y}$ nunha categoría concreta (é dicir, un morfismo que se pode ver como función) leva consigo a información do seu dominio (a fonte ${\displaystyle X}$ do morfismo) e o seu codominio (o destino ${\displaystyle Y}$). Na definición moi utilizada dunha función ${\displaystyle f:X\to Y}$, ${\displaystyle f}$ é un subconxunto de ${\displaystyle X\times Y}$ formado por todas as parellas ${\displaystyle (x,f(x))}$ para ${\displaystyle x\in X}$. Neste sentido, a función non captura o conxunto ${\displaystyle Y}$ que se usa como codominio; só o rango ${\displaystyle f(X)}$ está determinado pola función.

Notas

1. Apostol, T. M. (1981). Mathematical Analysis. Addison-Wesley. p. 35. ISBN 0-201-00288-4. 
2. Stacho, Juraj (October 31, 2007). "Function, one-to-one, onto" (PDF). cs.toronto.edu. Consultado o 2019-12-06. 
3. "Mapping | mathematics". Encyclopedia Britannica (en inglés). Consultado o 2019-12-06. 
4. "Functions or Mapping | Learning Mapping | Function as a Special Kind of Relation". Math Only Math. Consultado o 2019-12-06. 
5. Weisstein, Eric W. "Map". mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado o 2019-12-06. 
6. "Mapping, Mathematical | Encyclopedia.com". www.encyclopedia.com. Consultado o 2019-12-06. 
7. Lang, Serge (1971). Linear Algebra (2nd ed.). Addison-Wesley. p. 83. ISBN 0-201-04211-8. 
8. Simmons, H. (2011). An Introduction to Category Theory. Cambridge University Press. p. 2. ISBN 978-1-139-50332-7. 

Véxase tamén

Bibliografía

• Halmos, Paul R. (1970). Naive Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90092-6. 

Outros artigos

• Función (matemáticas)
• Mapa Regular (xeometría alxébrica)