Matriz de uns

En matemáticas, unha matriz de uns é unha matriz onde cada entrada é igual a un. ^[1] Por exemplo:

${\displaystyle J_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},\quad J_{3}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}},\quad J_{2,5}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{bmatrix}},\quad J_{1,2}={\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}}.\quad }$

Un vector de uns é unha matriz de uns que teñen forma de fila ou columna; non se debe confundir cos vectores unitarios.

Propiedades

Para unha matriz n × n de uns J, temos as seguintes propiedades:

• A trazo de J é igual a n, ^[2] e o determinante é igual a 0 para n ≥ 2, pero é igual a 1 se n = 1.
• O polinomio característico de J é ${\displaystyle (x-n)x^{n-1}}$ .
• O polinomio mínimo de J é ${\displaystyle x^{2}-nx}$ .
• O rango de J é 1 e os valores propios son n con multiplicidade 1 e 0 con multiplicidade n − 1.^[3]
• ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J}$ para ${\displaystyle k=1,2,\ldots .}$ ^[4]
• J é o elemento neutro do produto de Hadamard. ^[5]

Cando J se considera unha matriz sobre os números reais, danse as seguintes propiedades adicionais:

• J é unha matriz semidefinida positiva.
• A matriz ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J}$ é idempotente.^[4]
• A matriz exponencial de J é ${\displaystyle \exp(\mu J)=I+{\frac {e^{\mu n}-1}{n}}J}$

Aplicacións

A matriz de uns xorde no campo matemático da combinatoria, que inclúe particularmente a aplicación de métodos alxébricos á teoría de grafos. Por exemplo, se A é a matriz de adxacencia dun grafo non dirixido de n vértices G e J é a matriz de todos uns da mesma dimensión, entón G é un grafo regular se e só se AJ = JA.^[6] Como segundo exemplo, a matriz aparece nalgunhas demostracións alxébricas lineares da fórmula de Cayley, que dá o número de árbores de expansión dun grafo completo, utilizando o teorema da árbore matricial.

As raíces cadradas lóxicas dunha matriz de uns, matrices lóxicas cuxo cadrado é unha matriz de unidades, pódense usar para caracterizar os grupoides centrais. Os grupoides centrais son estruturas alxébricas que obedecen á identidade ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot (b\cdot c)=b}$. Os grupoides centrais finitos teñen un número cadrado de elementos, e as matrices lóxicas correspondentes só existen para esas dimensións.^[7]

Notas

1. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012). "0.2.8 The all-ones matrix and vector". Matrix Analysis. Cambridge University Press. p. 8. ISBN 9780521839402. .
2. Stanley, Richard P. (2013). Algebraic Combinatorics: Walks, Trees, Tableaux, and More. Springer. ISBN 9781461469988. .
3. Stanley (2013); Horn & Johnson (2012), p. 65.
4. Timm, Neil H. (2002). Applied Multivariate Analysis. Springer. p. 30. ISBN 9780387227719. .
5. Smith, Jonathan D. H. (2011). Introduction to Abstract Algebra. CRC Press. p. 77. ISBN 9781420063721. .
6. Godsil, Chris (1993). Algebraic Combinatorics. CRC Press. Lemma 4.1, p. 25. ISBN 9780412041310. .
7. Knuth, Donald E. (1970). Notes on central groupoids. 

Véxase tamén

Outros artigos

• Matriz identidade.

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. "Unit Matrix". MathWorld.