Número de osculación

En xeometría, o número de osculación é o máximo número de esferas de radio unidade que poden tocar simultaneamente a unha esfera unitaria nun espazo euclidiano de n dimensións.

Números de osculación coñecidos

[editar | editar a fonte]
O número de osculación en dimensión 1 é 2.
O número de osculación en dimensión 2 é 6.
  • En dimensión 1, o número de osculación é, obviamente, 2.
  • En dimensión 2, é fácil de ver e de probar que o número de osculación é 6.
  • En dimensión 3 a resposta xa non é sinxela. Podemos dispoñer facilmente 12 esferas de xeito que cada unha estea en contacto coa central, mais fica moito espazo libre entre unhas e outras, de modo que non é obvio que non haxa sitio para unha esfera número 13. Este foi un tema de controversia entre os matemáticos Isaac Newton e David Gregory. Newton calculaba que o límite era 12 e Gregory que era 13. A cuestión non se resolveu até 1874, e Newton tiña razón.[1]
  • En dimensión 4, durante un tempo ignorouse se a solución era 24 ou 25. En 2003, Oleg Musin probou que a solución correcta era 24.[2]
  • En dimensión n, con n > 4, ignórase a resposta excepto para n = 8 (240), e n = 24 (196560).[3][4]

Algúns límites coñecidos

[editar | editar a fonte]

A seguinte táboa amosa algúns dos límites coñecidos dos números de osculación en varias dimensións. As dimensións nas que se coñece o número de osculación están listadas en negro.

Dimensión Límite
Mínimo 		Límite
Máximo
1 2
2 6
3 12
4 24
5 40 45
6 72 78
7 126 135
8 240
9 306 366
10 500 567
11 582 915
12 840 1.416
13 1.130 2.233
14 1.582 3.492
15 2.564 5.431
16 4.320 8.313
17 5.346 12.215
18 7.398 17.877
19 10.688 25.901
20 17.400 37.974
21 27.720 56.852
22 49.896 86.537
23 93.150 128.096
24 196.560

Notas

[editar | editar a fonte]
  1. ↑ Conway, John H.; Neil J.A. Sloane (1999). Springer-Verlag, ed. Sphere Packings, Lattices and Groups (3rd ed. ed.). Nova York. ISBN 0-387-98585-9. 
  2. ↑ Florian Pfender, Günter M. Ziegler (Setembro 2004). Notices of the American Mathematical Society, ed. "Kissing numbers, sphere packings, and some unexpected proofs" (PDF). pp. 873–883. .
  3. ↑ Levenshtein, V. I. Boundaries for packings in n-dimensional Euclidean space. (ruso) Dokl. Akad. Nauk SSSR 245 (1979), no. 6, 1299—1303
  4. ↑ Odlyzko, A. M., Sloane, N. J. A. New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in n dimensions. J. Combin. Theory Ser. A 26 (1979), no. 2, 210—214