Primo curmán

En teoría de números, os primos curmáns son números primos que difieren en catro unidades.^[1] Dentro das diferenzas pequenas pertence ao grupo dos números primos xemelgos, pares de números primos que difiren en dous, e os números primos sexys, pares de números primos que difiren en seis.

Os primos curmáns (secuencias OEIS : A023200 e OEIS : A046132 en OEIS ) por debaixo de 1000 son:

(3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97), 101), (103, 107), (109, 113), (127, 131), (163, 167), (193, 197), (223, 227), (229, 233), (277, 281) ), (307, 311), (313, 317), (349, 353), (379, 383), (397, 401), (439, 443), (457, 461), (463,467), (487), 491), (499, 503), (613, 617), (643, 647), (673, 677), (739, 743), (757, 761), (769, 773), (823, 827) ), (853, 857), (859, 863), (877, 881), (883, 887), (907, 911), (937, 941), (967, 971)

Propiedades

O único primo pertencente a dous pares de primos curmáns é 7. Un dos números $n, n + 4, n + 8$ sempre será divisíbel por 3, polo que $n = 3$ é o único caso no que os tres son primos.

Un exemplo dun par primo comprobado grande é $(p, p + 4)$ para

p=4111286921397\times 2^{66420}+1

que ten 20008 díxitos. De feito forma parte dunha terna prima xa que $p$ tamén é un primo xemelgo (porque $p - 2$ tamén é un primo comprobado).

En abril de 2022, o par de primos curmáns mais grandes coñecidos foi atopado por S. Batalov e ten 51,934 díxitos. Os primos son:

p=29055814795\times (2^{172486}-2^{86243})+2^{86245}-3

p+4=29055814795\times (2^{172486}-2^{86243})+2^{86245}+1

^[2]

Se se cumpre a primeira conxectura de Hardy-Littlewood, entón os primos curmáns teñen a mesma densidade asintótica que os primos xemelgos. Un análogo da constante de Brun para primos xemelgos pódese definir para os primos curmáns, chamada constante de Brun para os primos curmáns, co termo inicial (3, 7) omitido, pola suma converxente:^[3]

B_{4}=\left({\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}\right)+\left({\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}\right)+\left({\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}\right)+\cdots .

Usando primos curmáns ata 2⁴², o valor de $B 4$ foi estimado por Marek Wolf en 1996 como

B_{4}\approx 1.1970449

^[4]

Esta constante non debe confundirse coa constante de Brun para primos cuádruples, que tamén se denota $B 4$ .

Notas

↑ Weisstein, Eric W. "Cousin Primes". MathWorld.
↑ Batalov, S. "Let's find some large sexy prime pair[s]". mersenneforum.org. Arquivado dende o orixinal o 06 de xullo de 2023. Consultado o 2022-09-17.
↑ Segal, B. (1930). "Generalisation du théorème de Brun". C. R. Acad. Sci. URSS (en ruso) 1930: 501–507. JFM 57.1363.06.
↑ Marek Wolf (1996), On the Twin and Cousin Primes.

Véxase tamén

Bibliografía

Wells, David (2011). Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. John Wiley & Sons. p. 33. ISBN 978-1118045718.
Fine, Benjamin; Rosenberger, Gerhard (2007). Number theory: an introduction via the distribution of primes. Birkhäuser. pp. 206. ISBN 978-0817644727.
Tóth, László (2019). On The Asymptotic Density Of Prime k-tuples and a Conjecture of Hardy and Littlewood (PDF). Computational Methods in Science and Technology 25. arXiv:1910.02636. doi:10.12921/cmst.2019.0000033. .
Wolf, Marek (February 1998). "Random walk on the prime numbers". Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications 250 (1–4): 335–344. Bibcode:1998PhyA..250..335W. doi:10.1016/s0378-4371(97)00661-4.

Outros artigos

[1] Weisstein, Eric W. "Cousin Primes". MathWorld.

[2] Batalov, S. "Let's find some large sexy prime pair[s]". mersenneforum.org. Arquivado dende o orixinal o 06 de xullo de 2023. Consultado o 2022-09-17.

[3] Segal, B. (1930). "Generalisation du théorème de Brun". C. R. Acad. Sci. URSS (en ruso) 1930: 501–507. JFM 57.1363.06.

[4] Marek Wolf (1996), On the Twin and Cousin Primes.

[1]

[2]

[3]

[4]