Regra de Ruffini

Paolo Ruffini

En matemáticas, a regra de Ruffini facilita o cálculo rápido da división de calquera polinomio entre un binomio da forma ${\displaystyle (x-r)\ }$. Descrita por Paolo Ruffini en 1809, é un caso especial de división sintética (unha división de polinomios en que o divisor é un factor linear).^[1] O algoritmo de Horner para a división de polinomios emprega a regra de Ruffini.^[2] A regra de Ruffini permite ademais localizar as raíces dun polinomio e factorizalo en binomios da forma ${\displaystyle (x-r)\ }$ (sendo r un número enteiro) se é coherente.

Historia

O método de Ruffini-Horner para a procura dun valor aproximado da raíz dun polinomio foi publicado con algúns anos de diferenza por Paolo Ruffini (1804-1807-1813) e por William George Horner (1819-1845, postumamente); seica Horner non tiña coñecementos dos traballos de Ruffini.

O método de Ruffini-Horner é dificilmente explotable se o polinomio posúe dúas raíces moi próximas. Ruffini non considera este problema, mais Horner propuxo un procedemento especial para estes casos.^[3] O método de Horner foi empregado polos matemáticos De Morgan e J.R. Young.

En tanto que técnica de cambio de variable, historicamente atópanse algoritmos semellantes, por exemplo na China, para a extracción da raíz n-ésima^[4] ou na obra de Al Samaw'al (século XII).^[5] O matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi (século XII) foi un dos primeiros en aplicalo ao caso xeral dunha ecuación de terceiro grao.^[6]

Algoritmo

A regra de Ruffini establece un método para a división do polinomio

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

entre o binomio

${\displaystyle Q(x)=x-r\,\!}$

para obter o cociente

${\displaystyle R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}$

e o resto:

${\displaystyle s.\!}$

• 1. Trázanse dúas liñas como eixes e escríbense os coeficientes de P(x), ordenados e sen omitir termos nulos. Escríbese a raíz r do lado esquerdo e o primeiro coeficiente na ringleira inferior (a_n):

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&{}&{}&{}&{}\\\hline {}&a_{n}&{}&{}&{}&{}\\{}&=b_{n-1}&{}&{}&{}&{}\\\end{array}}}$

• 2. Multiplícase (a_n) por r e escríbese debaixo de a_n-1:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&b_{n-1}\,r&{}&{}&{}\\\hline {}&a_{n}&{}&{}&{}&{}\\{}&=b_{n-1}&{}&{}&{}&{}\\\end{array}}}$

• 3. Súmanse os dous valores obtidos na mesma columna:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&b_{n-1}\,r&{}&{}&{}\\\hline {}&a_{n}&a_{n-1}+b_{n-1}\,r&{}&{}&{}\\{}&=b_{n-1}&=b_{n-2}&{}&{}&{}\\\end{array}}}$

• 4. Repítese o proceso:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&b_{n-1}\,r&\dots &b_{1}\,r&b_{0}\,r\\\hline {}&a_{n}&a_{n-1}+b_{n-1}\,r&\dots &a_{1}+b_{1}\,r&a_{0}+b_{0}\,r\\{}&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\dots &=b_{0}&=s\\\end{array}}}$

Os valores b son os coeficientes do polinomio resultante ${\displaystyle R(x)\!}$ de grao un menos que o grao de ${\displaystyle P(x)\!}$. O valor final obtido, ${\displaystyle s}$, é o resto, que como amosa o teorema do resto, é igual a ${\displaystyle P(r)\!}$.

Usos da regra

Atopar raíces

Véxase tamén: Teorema das raíces racionais.

Se ${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}$ é un polinomio con coeficientes enteiros e con a₀ e a_n distintos de cero, entón polo teorema das raíces racionais, todas as raíces racionais reais serán da forma p/q, onde p é un enteiro divisor de a₀ e q é un enteiro divisor de a_n. Así por exemplo, se o polinomio é

${\displaystyle P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2=0\,\!,}$

entón as posibles raíces racionais son todos os enteiros divisores de a₀ (−2):

${\displaystyle {\text{Posibles raíces:}}\left\{+1,-1,+2,-2\right\}.}$

Isto resulta útil para poder factorizar un polinomio (en caso de ser factorizable) de coeficientes enteiros, empregando os divisores do termo independente.

Exemplos

Exemplo 1

División de ${\displaystyle P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4\,\!}$ entre ${\displaystyle Q(x)=x+1.\,\!}$ empregando a regra de Ruffini.

1. Escríbese ${\displaystyle Q(x)=x+1=x-(-1)\,\!}$ e o primeiro coeficiente (2) na primeira ringleira:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{}&{}&{}\\\hline {}&2&{}&{}&{}\\\end{array}}}$

2. Multiplícase pola raíz r=(-1):

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{}&{}\\\hline {}&2&{}&{}&{}\\\end{array}}}$

3. Sumase a columna:

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{}&{}\\\hline {}&2&{1}&{}&{}\\\end{array}}}$

4. O procedemento repítese ata obter o resto:

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{-1}&{1}\\\hline {}&2&{1}&{-1}&{-3}\\{}&\mathrm {Coef.} &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}}$

Se o polinomio orixinal = divisor×cociente+resto, entón

${\displaystyle P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!}$, onde

${\displaystyle R(x)=2x^{2}+x-1\,\!}$ e ${\displaystyle s=-3.\,\!}$

Exemplo 2

Cando o resto é igual a 0; permite factorizar, como no seguinte exemplo:

${\displaystyle F(x)=x^{3}+x^{2}-x-1}$

Tomando

${\displaystyle G(x)=x+1}$

Emprégase o método, e queda:

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&1&1&-1&-1\\-1&{}&{-1}&{0}&{1}\\\hline {}&1&{0}&{-1}&{0}\\{}&\mathrm {Coef.} &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}}$

Entón F(x) factoriza como ${\displaystyle (x^{2}-1)(x+1)}$

Notas

1. Synthetic Division (en inglés)
2. Tamén se coñece como método de Horner ou algoritmo de Ruffini-Horner.
3. Florian Cajori, Horner's method of approximation anticipated by Ruffini, American Mathematical Society, 21 de novembro de 1910.
4. Jiuzhang Suanshu ("Os nove capítulos da arte matemática"), ChemlaShuchun, cap. 4
5. Hélène Bellosta, À propos de l'histoire des sciences arabes Arquivado 16 de novembro de 2006 en Wayback Machine., Gazette des mathématiciens, n°82, outubro de 1999.
6. J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society 110 (2), p. 304-309.

Véxase tamén

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Regra de Ruffini

Outros artigos

• Operacións con polinomios
• Algoritmo de Horner
• Paolo Ruffini

Ligazóns externas

• Stapel, Elizabeth. "Synthetic Division: The Process". Purplemath (en inglés). Consultado o 30 de novembro de 2011.