Rombo áureo

O rombo áureo.

En xeometría, un rombo áureo (tamén denominado rombo dourado ou rombo de ouro) caracterízase porque as súas diagonais están na proporción ${\displaystyle {\frac {p}{q}}=\varphi \!}$, onde ${\displaystyle \varphi \!}$ é o número áureo.

Elementos

Os ángulos internos do rombo son

${\displaystyle 2\arctan {\frac {1}{\varphi }}=\arctan {2}\approx 63.43495}$ graos

${\displaystyle 2\arctan \varphi =\arctan {1}+\arctan {3}\approx 116.56505}$ graos, que tamén é o ángulo diedro do dodecaedro

A lonxitude do lado do rombo áureo con diagonal curta ${\displaystyle q=1}$ é

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}e&=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}\\&=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}\\&=&{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\\&\approx &0.95106\end{array}}}$

Un rombo áureo con lonxitude dos lados unidade, ten lonxitudes diagonais

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}p&=&{\frac {\varphi }{e}}\\&=&2{\frac {1+{\sqrt {5}}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}\\&\approx &1.70130\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}q&=&{\frac {1}{e}}\\&=&4{\frac {1}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}\\&\approx &1.05146\end{array}}}$

Poliedros

Varios poliedros notábeis teñen rombos áureos como caras, incluíndo:

• Os dous romboedros áureos (con seis caras cada un)
• O dodecaedro de Bilinski (con 12 caras)
• O icosaedro rómbico (con 20 caras)
• O triacontaedro rómbico (con 30 caras)
• O hexacontaedro rómbico non convexo (con 60 caras)

O primeiros cinco destes son os únicos poliedros convexos con caras de rombos áureos, pero existen infinitos poliedros non convexos que teñen esta forma para todas as súas caras.

• 
  Romboedro áureo agudo
• 
  Romboedro áureo obtuso
• 
  Dodecaedro de Bilinski
• 
  Icosaedro rómbico
• 
  Triacontaedro rómbico
• 
  Hexacontaedro rómbico

Véxase tamén

Outros artigos

• Rectángulo dourado
• Número dourado
• Espiral dourada
• Triángulo áureo

Bibliografía

• M. Livio, "A relación áurea: a historia de Phi, o número máis asombroso do mundo", Nova York: Broadway Books, p. 206, 2002.

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. «Golden Rhombus». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric W. «Golden Rhombohedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.