Serie formal de potencias

En matemáticas, unha serie formal é unha suma infinita que se considera independentemente de calquera noción de converxencia, e que se pode manipular coas operacións alxébricas habituais sobre series (suma, resta, multiplicación, división, sumas parciais, etc.).

Unha serie formal de potencias é un tipo especial de serie formal, da forma

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots ,}$

onde os ${\displaystyle a_{n},}$ chamados coeficientes, son números ou, de xeito máis xeral, elementos dalgún anel, e os ${\displaystyle x^{n}}$ son potencias formais do símbolo ${\displaystyle x}$ que é a variábel. Polo tanto, as series de potencias poden verse como unha xeneralización de polinomios onde se permite que o número de termos sexa infinito e difiren das series de potencias habituais pola ausencia de requisitos de converxencia, o que implica que unha serie de potencias pode non representar unha función da súa variábel. As series de potencias formais están en correspondencia un a un coas súas secuencias de coeficientes, mais non se deben confundir os dous conceptos, xa que as operacións que se poden aplicar son diferentes.

Unha serie formal de potencias con coeficientes nun anel ${\displaystyle R}$ chámase unha serie formal de potencias en ${\displaystyle R.}$ As series formais de potencias sobre un anel ${\displaystyle R}$ forman un anel, comunmente denotado por ${\displaystyle R[[x]].}$ (Pódese ver como o completamento (x)-ádico do anel polinómico ${\displaystyle R[x],}$ do mesmo xeito que os enteiros p-ádicos son o completamento p-ádico do anel dos enteiros.)

As series formais de potencias son amplamente utilizadas en combinatoria para representar secuencias de enteiros como funcións xeradoras. Neste contexto, unha relación de recorrencia entre os elementos dunha secuencia pode interpretarse a miúdo como unha ecuación diferencial que satisfai a función xeradora. Isto permite utilizar métodos de análise complexa para problemas combinatorios (ver combinatoria analítica).

Introdución

Unha serie formal de potencias pode ser pensada como un obxecto que é como un polinomio, mais con infinitos termos. Alternativamente, para aqueles familiarizados coas series de potencias (ou series de Taylor), pódese pensar como unha serie de potencias na que ignoramos as cuestións de converxencia ao non asumir que a variable X denota ningún valor numérico (nin sequera un valor descoñecido). Por exemplo, considere a serie

${\displaystyle A=1-3X+5X^{2}-7X^{3}+9X^{4}-11X^{5}+\cdots .}$

Se estudásemos isto como unha serie de potencias, as súas propiedades incluirían, por exemplo, que o seu raio de converxencia é 1 polo teorema de Cauchy-Hadamard. Non entanto, como unha serie formal de potencias, podemos ignoralo completamente; o único que é relevante é a secuencia de coeficientes [1, −3, 5, −7, 9, −11, ...]. Noutras palabras, unha serie formal de potencias é un obxecto que só rexistra unha secuencia de coeficientes. É perfectamente aceptábel considerar unha serie formal de potencias cos factoriais [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ... ] como coeficientes, aínda que a serie de potencias correspondente diverxa para calquera valor de X distinto de cero.

A álxebra sobre series de potencias formais realízase simplemente como se as series fosen polinomios. Por exemplo, se

${\displaystyle B=2X+4X^{3}+6X^{5}+\cdots ,}$

entón sumamos A e B termo por termo:

${\displaystyle A+B=1-X+5X^{2}-3X^{3}+9X^{4}-5X^{5}+\cdots .}$

Podemos multiplicar series de potencias formais, de novo só tratándoas como polinomios (ver en particular o produto de Cauchy ou convolución):

${\displaystyle AB=2X-6X^{2}+14X^{3}-26X^{4}+44X^{5}+\cdots .}$

Observe que cada coeficiente do produto AB só depende dun número finito de coeficientes de A e B . Por exemplo, o termo X⁵ vén dado por

${\displaystyle 44X^{5}=(1\times 6X^{5})+(5X^{2}\times 4X^{3})+(9X^{4}\times 2X).}$

Por esta razón, pódense multiplicar as series formais de potencias sen preocuparse polas cuestións habituais de converxencia absoluta, condicional e uniforme que xorden ao tratar as series de potencias no contexto da análise.

Unha vez que definimos a multiplicación para as series formais de potencias, podemos definir inversas multiplicativas do seguinte xeito. A inversa multiplicativa dunha serie formal de potencias A é unha serie formal de potencias C tal que AC = 1, sempre que exista tal serie formal de potencias. Resulta que se A ten un inverso multiplicativo, é único, e denotámolo por A⁻¹ . Agora podemos definir a división de series de potencias formais definindo que B/A é o produto BA ⁻¹, sempre que exista a inversa de A. Por exemplo, pódese usar a definición de multiplicación anterior para verificar a fórmula familiar

${\displaystyle {\frac {1}{1+X}}=1-X+X^{2}-X^{3}+X^{4}-X^{5}+\cdots .}$

Unha operación importante nas series formais de potencias é a de obter determinado coeficiente. Na súa forma máis básica, o operador de extracción de coeficientes ${\displaystyle [X^{n}]}$ aplicado a unha serie de potencias formal ${\displaystyle A}$ nunha variábel obtén o coeficiente da ${\displaystyle n}$-ésima potencia da variábel, de xeito que ${\displaystyle [X^{2}]A=5}$ e ${\displaystyle [X^{5}]A=-11}$ . Outros exemplos inclúen

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[X^{3}\right](B)&=4,\\\left[X^{2}\right](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})&=3Y^{3},\\\left[X^{2}Y^{3}\right](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})&=3,\\\left[X^{n}\right]\left({\frac {1}{1+X}}\right)&=(-1)^{n},\\\left[X^{n}\right]\left({\frac {X}{(1-X)^{2}}}\right)&=n.\end{aligned}}}$

Do mesmo xeito, moitas outras operacións que se realizan en polinomios pódense estender ás series formais de potencias, como se explica a continuación.

O anel da serie formal de potencias

Se se considera o conxunto de todas as series formais de potenciasen X con coeficientes nun anel conmutativo R, os elementos deste conxunto constitúen colectivamente outro anel que se escribe ${\displaystyle R[[X]],}$ denominado anel das series formais de potencias na variábel X sobre R.

Definición do anel das series formais de potencias

Pódese caracterizar ${\displaystyle R[[X]]}$ abstractamente como o completamento do anel polinómico ${\displaystyle R[X]}$ equipado cunha métrica particular. Isto dá automaticamente a ${\displaystyle R[[X]]}$ a estrutura dun anel topolóxico (e mesmo dun espazo métrico completo). É posíbel describir ${\displaystyle R[[X]]}$ de forma máis explícita, e definir a estrutura do anel e a estrutura topolóxica por separado, como segue.

Estrutura do anel

Como conxunto, ${\displaystyle R[[X]]}$ pódese construír como un conxunto ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ de todas as secuencias infinitas de elementos de ${\displaystyle R}$, indexado polos números naturais (incluíndo o índice 0). Designando unha secuencia cuxo termo no índice ${\displaystyle n}$ é ${\displaystyle a_{n}}$ por ${\displaystyle (a_{n})}$, defínese a suma de dúas secuencias deste tipo por

${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

e a multiplicación por

${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\times (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{\!n\in \mathbb {N} }.}$

Este tipo de produto chámase produto de Cauchy das dúas secuencias de coeficientes e é unha especie de convolución discreta. Con estas operacións, ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ convértese nun anel conmutativo con elemento cero ${\displaystyle (0,0,0,\ldots )}$ e identidade multiplicativa ${\displaystyle (1,0,0,\ldots )}$ .

É bastante natural e conveniente designar unha secuencia xeral ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ pola expresión formal ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}}$. Esta convención de notación permite a reformulación das definicións anteriores como

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }(a_{i}+b_{i})X^{i}}$

e

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)X^{n}.}$

Estrutura topolóxica

Tendo estipulado convencionalmente que

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i},}$

(1)

interpretaríamos o lado dereito como unha suma infinita ben definida. Para iso, definimos unha noción de converxencia en ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ e construímos unha topoloxía ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$. Hai varias formas equivalentes de definir a topoloxía desexada.

• Podemos dar a ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ a topoloxía do produto, onde a cada copia de ${\displaystyle R}$ dáselle a topoloxía discreta.
• Podemos dar a ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ a topoloxía I-ádica, onde ${\displaystyle I=(X)}$ é o ideal xerado por ${\displaystyle X}$, que consta de todas as secuencias cuxo primeiro termo ${\displaystyle a_{0}}$ é cero.
• A topoloxía desexada tamén se pode derivar da seguinte métrica. A distancia entre secuencias distintas ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n})\in R^{\mathbb {N} },}$ defínese como $${\displaystyle d((a_{n}),(b_{n}))=2^{-k},}$$onde ${\displaystyle k}$ é o número natural máis pequeno tal que ${\displaystyle a_{k}\neq b_{k}}$; a distancia entre dúas secuencias iguais é por suposto cero.

Informalmente, dúas secuencias ${\displaystyle (a_{n})}$ e ${\displaystyle (b_{n})}$ achéganse cada vez máis se e só se cada vez máis os seus termos coinciden exactamente. Formalmente, a secuencia de sumas parciais dalgunha suma infinita converxe se para cada potencia fixa de ${\displaystyle X}$ o coeficiente estabilizase: hai un punto máis aló do cal todas as sumas parciais posteriores teñen o mesmo coeficiente.

Esta estrutura topolóxica, xunto coas operacións de anel descritas anteriormente, forman un anel topolóxico. Isto chámase o anel das series formais de potencias sobre ${\displaystyle R}$ e denótase como ${\displaystyle R[[X]]}$. A topoloxía ten a propiedade útil de que unha suma infinita converxe se e só se a secuencia dos seus termos converxe a 0, o que só significa que calquera potencia fixa de ${\displaystyle X}$ ocorre só en finitamente moitos termos.

A estrutura topolóxica permite un uso moito máis flexible das sumas infinitas. Por exemplo, a regra para a multiplicación pódese redifinir simplemente como

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i,j\in \mathbb {N} }a_{i}b_{j}X^{i+j},}$

xa que só un número finito de termos da dereita afectan a calquera fixo ${\displaystyle X^{n}}$. Os produtos infinitos tamén se definen pola estrutura topolóxica; pódese ver que un produto infinito converxe se e só se a secuencia dos seus factores converxe a 1 (neste caso o produto é distinto de cero) ou infinitos factores non teñen termo constante (neste caso o produto é cero).

Topoloxías alternativas

A topoloxía anterior é a topoloxía máis fina para a cal

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}}$

sempre converxe como suma da serie dormal de potencias designada pola mesma expresión, e moitas veces abonda con darlle un significado a sumas e produtos infinitos, ou a outro tipo de límites que se quere utilizar para designar determinadas series formais de potencias. Non obstante, pode ocorrer ocasionalmente que se queira utilizar unha topoloxía máis grosa, de xeito que certas expresións se fagan converxentes que doutro xeito diverxerían. Isto aplícase en particular cando o anel base ${\displaystyle R}$ xa ven cunha topoloxía diferente á discreta, por exemplo se tamén é un anel de series formais de potencias.

Propiedade universal

O anel ${\displaystyle R[[X]]}$ pode caracterizarse pola seguinte propiedade universal. Se ${\displaystyle S}$ é unha álxebra asociativa conmutativa ${\displaystyle R}$, se ${\displaystyle I}$ é un ideal de ${\displaystyle S}$ tal que a topoloxía ${\displaystyle I}$-ádica en ${\displaystyle S}$ é completa, e se ${\displaystyle x}$ é un elemento de ${\displaystyle I}$, entón hai unha única ${\displaystyle \Phi :R[[X]]\to S}$ coas seguintes propiedades:

• ${\displaystyle \Phi }$ é un ${\displaystyle R}$-álxebra homomorfismo
• ${\displaystyle \Phi }$ é continua
• ${\displaystyle \Phi (X)=x}$.

Operacións con series formais de potencias

Pódense realizar operacións alxébricas sobre series de potencias para xerar novas series de potencias.^[1][2]A maiores das operacións de estrutura de anel definidas anteriormente, temos as seguintes.

Serie de potencias elevada a potencias

Para calquera número natural n, a n potencia dunha serie formal de potencias S defínese recursivamente por $${\displaystyle {\begin{aligned}S^{1}&=S\\S^{n}&=S\cdot S^{n-1}\quad {\text{for }}n>1.\end{aligned}}}$$

Se m e a₀ son invertíbeis no anel de coeficientes, pódese probar^[3][4][5] $${\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}X^{k}\right)^{\!n}=\,\sum _{m=0}^{\infty }c_{m}X^{m},}$$ onde $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&=a_{0}^{n},\\c_{m}&={\frac {1}{ma_{0}}}\sum _{k=1}^{m}(kn-m+k)a_{k}c_{m-k},\ \ \ m\geq 1.\end{aligned}}}$$No caso das series formais de potencias con coeficientes complexos, as potencias complexas están ben definidas para as series f con termo constante igual a 1. Neste caso, ${\displaystyle f^{\alpha }}$ pódese definir ben pola composición coa serie binomial (1+x)^α, ben pola composición coas series exponencial e logarítmica, ${\displaystyle f^{\alpha }=\exp(\alpha \log(f)),}$ ou como a solución da ecuación diferencial (en termos de serie) ${\displaystyle f(f^{\alpha })'=\alpha f^{\alpha }f'}$ con termo constante 1; as tres definicións son equivalentes. As regras do cálculo ${\displaystyle (f^{\alpha })^{\beta }=f^{\alpha \beta }}$ e ${\displaystyle f^{\alpha }g^{\alpha }=(fg)^{\alpha }}$ sdedúcense facilmente.

inverso multiplicativo

A serie

${\displaystyle A=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\in R[[X]]}$

é invertíbel en ${\displaystyle R[[X]]}$ se e só se o seu coeficiente constante ${\displaystyle a_{0}}$ é invertíbel en ${\displaystyle R}$. Podemos calcular os coeficientes da serie inversa ${\displaystyle B}$ mediante a fórmula recursiva explícita

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}},\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i},\ \ \ n\geq 1.\end{aligned}}}$

Un caso especial importante é que a fórmula da serie xeométrica é válida en ${\displaystyle R[[X]]}$ :

${\displaystyle (1-X)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }X^{n}.}$

Se ${\displaystyle R=K}$ é un corpo, entón unha serie é invertíbel se e só se o termo constante é distinto de cero, é dicir, se e só se a serie non é divisíbel por ${\displaystyle X}$. Isto significa que ${\displaystyle K[[X]]}$ é un anel de valoración discreta con parámetro uniformizador ${\displaystyle X}$.

División

Cálculo dun cociente ${\displaystyle f/g=h}$

${\displaystyle {\frac {\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},}$

asumindo que o denominador é invertíbel (é dicir, ${\displaystyle a_{0}}$ é invertébel no anel dos escalares), pódese realizar como produto ${\displaystyle f}$ e a inversa de ${\displaystyle g}$, ou equiparando directamente os coeficientes en ${\displaystyle f=gh}$:

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{a_{0}}}\left(b_{n}-\sum _{k=1}^{n}a_{k}c_{n-k}\right).}$

Extracción de coeficientes

O operador de extracción de coeficientes aplicado a unha serie formal de potencias

${\displaystyle f(X)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}$

en X escríbese

${\displaystyle \left[X^{m}\right]f(X)}$

e extrae o coeficiente de X ^m, así podemos escribir

${\displaystyle \left[X^{m}\right]f(X)=\left[X^{m}\right]\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{m}.}$

Composición

Dadas dúas series formais de potencias

${\displaystyle f(X)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots }$

${\displaystyle g(X)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}=b_{0}+b_{1}X+b_{2}X^{2}+\cdots }$

tal que ${\displaystyle a_{0}=0,}$ pódese formar a composición

${\displaystyle g(f(X))=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(f(X))^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},}$

onde os coeficientes c_n son determinados "ampliando" as potencias de f(X):

${\displaystyle c_{n}:=\sum _{k\in \mathbb {N} ,|j|=n}b_{k}a_{j_{1}}a_{j_{2}}\cdots a_{j_{k}}.}$

Aquí a suma esténdese sobre todos os (k, j) con ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ e ${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{+}^{k}}$ con ${\displaystyle |j|:=j_{1}+\cdots +j_{k}=n.}$

Unha descrición máis explícita destes coeficientes é proporcionada pola fórmula de Faà di Bruno, polo menos no caso en que o anel de coeficiente é un corpo de característica 0.

A composición só é válida cando ${\displaystyle f(X)}$ non ten termo constante, de xeito que cada ${\displaystyle c_{n}}$ depende só dun número finito de coeficientes de ${\displaystyle f(X)}$ e ${\displaystyle g(X)}$. Noutras palabras, a serie para ${\displaystyle g(f(X))}$ converxe na topoloxía de ${\displaystyle R[[X]]}$ .

Exemplo

Supoña que o anel ${\displaystyle R}$ ten característica 0 e os enteiros distintos de cero son invertíbeis en ${\displaystyle R}$. Se se denota por ${\displaystyle \exp(X)}$ a serie formal de potencias

${\displaystyle \exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+{\frac {X^{4}}{4!}}+\cdots ,}$

entón a igualdade

${\displaystyle \exp(\exp(X)-1)=1+X+X^{2}+{\frac {5X^{3}}{6}}+{\frac {5X^{4}}{8}}+\cdots }$

ten perfectamente sentido como unha serie formal de potencias , xa que o coeficiente constante de ${\displaystyle \exp(X)-1}$ é cero.

Inversa

Sempre que unha serie formal

${\displaystyle f(X)=\sum _{k}f_{k}X^{k}\in R[[X]]}$

ten f₀ = 0 e f₁ é un elemento invertíbel de R, existe unha serie

${\displaystyle g(X)=\sum _{k}g_{k}X^{k}}$

que é a inversa ${\displaystyle f}$, é dicir, compoñer ${\displaystyle f}$ con ${\displaystyle g}$ dá a serie que representa a función de identidade ${\displaystyle x=0+1x+0x^{2}+0x^{3}+\cdots }$ . Os coeficientes de ${\displaystyle g}$ pódense atopar recursivamente utilizando a fórmula anterior para os coeficientes dunha composición, equiparándoos cos da composición identidade X (é dicir, 1 no grao 1 e 0 en cada grao superior a 1). No caso de que o anel coeficiente sexa un corpo de característica 0, a fórmula de inversión de Lagrange (discutida a continuación) proporciona unha poderosa ferramenta para calcular os coeficientes de g, así como os coeficientes das potencias (multiplicativas) de g.

Diferenciación formal

Dada unha serie formal de potencias

${\displaystyle f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}\in R[[X]],}$

definimos a súa derivada formal, denotada Df ou f ′, como

${\displaystyle Df=f'=\sum _{n\geq 1}a_{n}nX^{n-1}.}$

O símbolo D chámase operador formal de diferenciación. Esta definición simplemente imita a diferenciación termo por termo dun polinomio.

Esta operación é R-linear:

${\displaystyle D(af+bg)=a\cdot Df+b\cdot Dg}$

para calquera a, b en R e calquera f, g en ${\displaystyle R[[X]].}$ Ademais, a derivada formal ten moitas das propiedades da derivada habitual do cálculo. Por exemplo, a regra do produto é válida:

${\displaystyle D(fg)\ =\ f\cdot (Dg)+(Df)\cdot g,}$

e a regra da cadea tamén funciona:

${\displaystyle D(f\circ g)=(Df\circ g)\cdot Dg,}$

sempre que se definan apropiadamente as composicións de series.

Así, nestes aspectos as series de potencias formais compórtanse como as series de Taylor. De feito, para o f definido anteriormente, atopamos que

${\displaystyle (D^{k}f)(0)=k!a_{k},}$

onde D ^k denota a k-ésima derivada formal (é dicir, o resultado de diferenciar formalmente k veces).

Antidiferenciación formal

Se ${\displaystyle R}$ é un anel con característica cero e os enteiros distintos de cero son invertibles ${\displaystyle R}$, entón dada unha serie de potencias formal

${\displaystyle f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}\in R[[X]],}$

definimos a súa antiderivada formal ou integral indefinida formal por

${\displaystyle D^{-1}f=\int f\ dX=C+\sum _{n\geq 0}a_{n}{\frac {X^{n+1}}{n+1}}.}$

para calquera constante ${\displaystyle C\in R}$ .

Esta operación é R-linear:

${\displaystyle D^{-1}(af+bg)=a\cdot D^{-1}f+b\cdot D^{-1}g}$

para calquera a, b en R e calquera f, g en ${\displaystyle R[[X]].}$ A maiores, a antiderivada formal ten moitas das propiedades da antiderivada habitual do cálculo. Por exemplo, a antiderivada formal é a inversa pola dereita da derivada formal:

${\displaystyle D(D^{-1}(f))=f}$

para calquera ${\displaystyle f\in R[[X]]}$.

Serie formal de Laurent

As series formais de Laurent sobre un anel ${\displaystyle R}$ defínense dun xeito similar ás series formais de potencias, agás que tamén permitimos un número finito de termos de grao negativo. É dicir, son as series que se poden escribir como

${\displaystyle f=\sum _{n=N}^{\infty }a_{n}X^{n}}$

para algún ${\displaystyle N}$ enteiro, de xeito que só hai un número finito de ${\displaystyle n}$ negativos con ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$. (Isto é diferente da clásica serie de Laurent da análise complexa.) Para unha serie formal de Laurent distinta de cero, o enteiro mínimo ${\displaystyle n}$ tal que ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ chámase orde de ${\displaystyle f}$ e denomínase ${\displaystyle \operatorname {ord} (f).}$ (A orde da serie cero é ${\displaystyle +\infty }$.)

Pódese definir a multiplicación destas series. De feito, de xeito similar á definición de series formais de potencias, o coeficiente de ${\displaystyle X^{k}}$ de dúas series coas respectivas secuencias de coeficientes ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ e ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ é

${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {Z} }a_{i}b_{k-i}.}$

Esta suma ten só un número finito de termos distintos de cero debido á suposta desaparición dos coeficientes en índices suficientemente negativos.

As series formais de Laurent forman o anel de series formais de Laurent sobre ${\displaystyle R}$, denotado como ${\displaystyle R((X))}$.^[a] É igual á localización do anel ${\displaystyle R[[X]]}$ de series formais de potencias en relación ao conxunto de potencias positivas de ${\displaystyle X}$. Se ${\displaystyle R=K}$ é un corpo, entón ${\displaystyle K((X))}$ é de feito un corpo, que se pode obter alternativamente como o corpo de fraccións do dominio de integridade ${\displaystyle K[[X]]}$.

Do mesmo xeito que con ${\displaystyle R[[X]]}$, o anel ${\displaystyle R((X))}$ das series formais de Laurent pode estar dotado da estrutura dun anel topolóxico introducindo a métrica

${\displaystyle d(f,g)=2^{-\operatorname {ord} (f-g)}.}$

Pódese definir a diferenciación formal para as series formais de Laurent do xeito natural (termo por termo). Precisamente, a derivada formal das series formais de Laurent ${\displaystyle f}$ anterior é

${\displaystyle f'=Df=\sum _{n\in \mathbb {Z} }na_{n}X^{n-1},}$

que é de novo unha serie formal de Laurent. Se ${\displaystyle f}$ é unha serie formal de Laurent non constante e con coeficientes nun corpo de característica 0, entón temos

${\displaystyle \operatorname {ord} (f')=\operatorname {ord} (f)-1.}$

No entanto, en xeral este non é o caso xa que o factor ${\displaystyle n}$ para o termo de orde máis baixa pode ser igual a 0 en ${\displaystyle R}$.

Residuo formal

Supoña que ${\displaystyle K}$ é un corpo de característica 0. Entón o mapa

${\displaystyle D\colon K((X))\to K((X))}$

definido anteriormente é unha ${\displaystyle K}$-derivación que satisfai

${\displaystyle \ker D=K}$

${\displaystyle \operatorname {im} D=\left\{f\in K((X)):[X^{-1}]f=0\right\}.}$

Isto último mostra que o coeficiente de ${\displaystyle X^{-1}}$ en ${\displaystyle f}$ é de particular interese; chámase residuo formal de ${\displaystyle f}$, denotado ${\displaystyle \operatorname {Res} (f)}$. O mapa

${\displaystyle \operatorname {Res} :K((X))\to K}$

é ${\displaystyle K}$-linear, e pola observación anterior un ten unha secuencia exacta

${\displaystyle 0\to K\to K((X)){\overset {D}{\longrightarrow }}K((X))\;{\overset {\operatorname {Res} }{\longrightarrow }}\;K\to 0.}$

Algunhas regras do cálculo. Como consecuencia moi directa da definición anterior, e das regras de derivación formal, tense, para calquera ${\displaystyle f,g\in K((X))}$

1. ${\displaystyle \operatorname {Res} (f')=0;}$
2. ${\displaystyle \operatorname {Res} (fg')=-\operatorname {Res} (f'g);}$
3. ${\displaystyle \operatorname {Res} (f'/f)=\operatorname {ord} (f),\qquad \forall f\neq 0;}$
4. ${\displaystyle \operatorname {Res} \left((g\circ f)f'\right)=\operatorname {ord} (f)\operatorname {Res} (g),}$ se ${\displaystyle \operatorname {ord} (f)>0;}$
5. ${\displaystyle [X^{n}]f(X)=\operatorname {Res} \left(X^{-n-1}f(X)\right).}$

A propiedade (1) forma parte da secuencia exacta anterior. A propiedade (2) dedúcese de (1) aplicada a ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$. A propiedade (3): calquera ${\displaystyle f}$ pódese escribir na forma ${\displaystyle f=X^{m}g}$, con ${\displaystyle m=\operatorname {ord} (f)}$ e ${\displaystyle \operatorname {ord} (g)=0}$: entón ${\displaystyle f'/f=mX^{-1}+g'/g.}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} (g)=0}$ implica que ${\displaystyle g}$ é invertébel en ${\displaystyle K[[X]]\subset \operatorname {im} (D)=\ker(\operatorname {Res} ),}$ de onde ${\displaystyle \operatorname {Res} (f'/f)=m.}$ A propiedade (4): xa que ${\displaystyle \operatorname {im} (D)=\ker(\operatorname {Res} ),}$ podemos escribir ${\displaystyle g=g_{-1}X^{-1}+G',}$ con ${\displaystyle G\in K((X))}$

Fórmula de inversión de Lagrange

Artigo principal: Fórmula de inversión de Lagrange.

Como se mencionou anteriormente, calquera serie formal ${\displaystyle f\in K[[X]]}$ con f₀ = 0 e f₁ ≠ 0 ten unha inversa ${\displaystyle g\in K[[X]].}$ Cúmprese a seguinte relación entre os coeficientes de gⁿ e f^−k:

${\displaystyle k[X^{k}]g^{n}=n[X^{-n}]f^{-k}.}$

En particular, para n=1 e todos os k≥1,

${\displaystyle [X^{k}]g={\frac {1}{k}}\operatorname {Res} \left(f^{-k}\right).}$

Dado que a demostración da fórmula de inversión de Lagrange é un cálculo moi curto, paga a pena informar aquí dunha proba baseada en residuos (existen varias probas diferentes,^[6][7][8] usando, por exemplo, a fórmula do coeficiente de Cauchy para funcións holomorfas, argumentos de conta de árbores ou indución). Observando ${\displaystyle \operatorname {ord} (f)=1}$, podemos aplicar as regras de cálculo anteriores, fundamentalmente a regra (4) substituíndo ${\displaystyle X\rightsquigarrow f(X)}$ para obter:

${\displaystyle {\begin{aligned}k[X^{k}]g^{n}&\ {\stackrel {\mathrm {(5)} }{=}}\ k\operatorname {Res} \left(g^{n}X^{-k-1}\right)\ {\stackrel {\mathrm {(4)} }{=}}\ k\operatorname {Res} \left(X^{n}f^{-k-1}f'\right)\ {\stackrel {\mathrm {cadea} }{=}}\ -\operatorname {Res} \left(X^{n}(f^{-k})'\right)\\&\ {\stackrel {\mathrm {(2)} }{=}}\ \operatorname {Res} \left(\left(X^{n}\right)'f^{-k}\right)\ {\stackrel {\mathrm {cadea} }{=}}\ n\operatorname {Res} \left(X^{n-1}f^{-k}\right)\ {\stackrel {\mathrm {(5)} }{=}}\ n[X^{-n}]f^{-k}.\end{aligned}}}$

Notas

1. Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Yuri Veniaminovich; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan (2015) [October 2014]. "0.313". En Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo. Table of Integrals, Series, and Products. Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. p. 18. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276.  (Several previous editions as well.)
2. Niven, Ivan (October 1969). "Formal Power Series". American Mathematical Monthly 76 (8): 871–889. doi:10.1080/00029890.1969.12000359. 
3. Finkel, Hal (2010-07-13). "The differential transformation method and Miller's recurrence". arXiv:1007.2178 [math.CA]. 
4. Gould, H. W. (1974). "Coefficient Identities for Powers of Taylor and Dirichlet Series". The American Mathematical Monthly 81 (1): 3–14. ISSN 0002-9890. JSTOR 2318904. doi:10.2307/2318904. 
5. Zeilberger, Doron (1995). "The J.C.P. miller recurrence for exponentiating a polynomial, and its q-analog.". Journal of Difference Equations and Applications 1 (1): 57–60. doi:10.1080/10236199508808006 – vía Taylor & Francis Online. 
6. Richard, Stanley (2012). Enumerative combinatorics. Volume 1. Cambridge Stud. Adv. Math. 49. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-60262-5. MR 2868112. 
7. Ira, Gessel. Inversión de Lagrange. Revista de Teoría Combinatoria, Serie A 144. pp. 212–249. MR 3534068. arXiv:1609.05988. doi:10.1016/j.jcta.2016.06.018. 
8. Surya, Erlang; Warnke, Lutz (2023). Lagrange Inversion Formula by Induction. The American Mathematical Monthly (en inglés) 130. pp. 944–948. MR 4669236. arXiv:2305.17576. doi:10.1080/00029890.2023.2251344. 

1. Para cada serie formal de Laurent diferente de cero, a orde é un número enteiro (é dicir, os graos dos termos están limitados). Mais o anel ${\displaystyle R((X))}$ contén series de todas as ordes.

Véxase tamén

Bibliografía

• Berstel, Jean; Reutenauer, Christophe (2011). Noncommutative rational series with applications. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 137. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl 1250.68007. 
• Nicolas Bourbaki: Algebra, IV, §4. Springer-Verlag 1988.

Outros artigos

• Función xeradora.