Teorema de Bombieri-Vinogradov

O teorema de Bombieri-Vinogradov é un resultado importante na teoría analítica dos números, obtido a mediados dos anos 60, relativo á distribución dos números primos en progresións aritméticas, promediadas nun rango de módulos. O primeiro resultado deste tipo foi obtido por Mark Barban en 1961 ^[1] e o teorema de Bombieri-Vinogradov é un perfeccionamento do resultado de Barban. O teorema de Bombieri-Vinogradov recibe o seu nome de Enrico Bombieri ^[2] e A.I. Vinogradov, ^[3], que publicaron nun tema relacionado, a hipótese da densidade, en 1965.

Este resultado é unha aplicación importante do método da criba grande, que se desenvolveu rapidamente a comezos da década de 1960, desde os seus inicios no traballo de Yuri Linnik dúas décadas antes. Ademais de Bombieri, Klaus Roth traballaba nesta área. A finais dos anos 60 e principios dos 70, Patrick X. Gallagher simplificou moitos dos ingredientes e estimacións clave.^[4]

Enunciado do teorema de Bombieri-Vinogradov

Sexan ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle Q}$ dous números reais positivos calquera tal que

${\displaystyle x^{1/2}\log ^{-A}x\leq Q\leq x^{1/2}.}$

Daquela

${\displaystyle \sum _{q\leq Q}\max _{y\leq x}\max _{1\leq a\leq q \atop (a,q)=1}\left|\psi (y;q,a)-{y \over \varphi (q)}\right|=O\left(x^{1/2}Q(\log x)^{5}\right)\!.}$

Aquí ${\displaystyle \varphi (q)}$ é a función totiente de Euler, que é o número de sumandos para o módulo q, e

${\displaystyle \psi (x;q,a)=\sum _{n\leq x \atop n\equiv a{\bmod {q}}}\Lambda (n),}$

onde ${\displaystyle \Lambda }$ denota a función de von Mangoldt .

Unha descrición verbal deste resultado sería que dá un valor para o termo de erro no teorema dos números primos para progresións aritméticas, promediados sobre os módulos q ata Q. Para un certo rango de Q, que está ao redor de ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ se non consideramos os factores logarítmicos. O erro promediado é case tan pequeno como ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ . Isto non é obvio, e sen consedirar o promedio sería tan importante como a hipótese de Riemann xeneralizada (GRH).

Notas

1. Barban, M. B. (1961). New applications of the 'large sieve' of Yu. V. Linnik. Akad. Nauk. UzSSR Trudy. Inst. Mat. 22. pp. 1–20. MR 0171763. 
2. Bombieri, E. (1987). Le Grand Crible dans la Théorie Analytique des Nombres. Astérisque 18 (Seconde ed.). Paris. MR 0891718. Zbl 0618.10042. 
3. Vinogradov, A. I. (1965). "The density hypothesis for Dirichlet L-series". Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. (en ruso) 29 (4): 903–934. MR 197414.  Corrigendum. ibid. 30 (1966), pages 719-720. (Russian)
4. Tenenbaum, Gérald (2015). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Graduate Studies in Mathematics 163. American Mathematical Society. pp. 102–104. ISBN 9780821898543. 

Véxase tamén

Outros artigos

• Conxectura de Elliott-Halberstam
• Teorema de Vinogradov
• Teorema de Siegel-Walfisz

Ligazóns externas

• The Bombieri-Vinogradov Theorem, notas para ler de R.C. Vaughan.