Teorema de Sard

En matemáticas, o teorema de Sard, tamén coñecido como lema de Sard ou teorema de Morse-Sard, é un resultado da análise matemática que afirma que o conxunto de valores críticos (é dicir, a imaxe do conxunto de puntos críticos) dunha función suave f dun espazo ou variedade euclidiana a outro é un conxunto nulo, é dicir, ten unha medida de Lebesgue 0. Isto fai que o conxunto de valores críticos sexa "pequeno" no sentido dunha propiedade xenérica. O teorema recibe o nome de Anthony Morse e Arthur Sard.

Enunciado

Sexa,^[1]

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle C^{k}}$, (é dicir, ${\displaystyle k}$ veces continuamente diferenciable), onde ${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$. Se ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ denota o conxunto crítico de ${\displaystyle f,}$ que é o conxunto de puntos ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ no que a matriz xacobiana de ${\displaystyle f}$ ten rango ${\displaystyle <m}$, daquela a imaxe ${\displaystyle f(X)}$ ten unha medida de Lebesgue 0 en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

Falando intuitivamente, isto significa que aínda que ${\displaystyle X}$ pode ser grande, a súa imaxe debe ser pequena no sentido da medida de Lebesgue: mentres ${\displaystyle f}$ pode ter moitos puntos críticos no dominio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, debe ter poucos valores críticos na imaxe ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

De forma máis xeral, o resultado tamén vale para os mapas entre variedades diferenciábeis ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ de dimensións ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$, respectivamente. O conxunto crítico ${\displaystyle X}$ dunha función ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle f:N\rightarrow M}$

consiste naqueles puntos nos que o diferencial nos fibrados tanxentes

${\displaystyle df:TN\rightarrow TM}$

ten rango inferior a ${\displaystyle m}$ como transformación lineal. Se ${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$, entón o teorema de Sard afirma que a imaxe de ${\displaystyle X}$ ten medida de Lebesgue cero como subconxunto de ${\displaystyle M}$. Esta formulación do resultado segue a partir da versión para espazos euclidianos tomando un conxunto numerábel de zonas de coordenadas. A conclusión do teorema é unha enunciado local, xa que unha unión numerábel de conxuntos de medida cero é un conxunto de medida cero, e a propiedade dun subconxunto dunha zona de coordenadas que ten medida cero é invariante baixo un difeomorfismo.

Variantes

Existen moitas variantes deste lema, que xoga un papel básico na teoría da singularidade entre outros campos. O caso ${\displaystyle m=1}$ foi probado por Anthony P. Morse en 1939,^[2] e o caso xeral por Arthur Sard en 1942.^[1]

Stephen Smale probou unha versión para variedades de Banach de dimensións infinitas.^[3]

A afirmación é bastante potente e a proba implica análise. En topoloxía cítase a miúdo (como no teorema do punto fixo de Brouwer e algunhas aplicacións na teoría de Morse) para demostrar o corolario máis débil de que “un mapa suave non constante ten polo menos un valor regular”.

En 1965 Sard xeneralizou aínda máis o seu teorema para afirmar que se ${\displaystyle f:N\rightarrow M}$ é ${\displaystyle C^{k}}$ para ${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$ e se ${\displaystyle A_{r}\subseteq N}$ é o conxunto de puntos ${\displaystyle x\in N}$ tal que ${\displaystyle df_{x}}$ ten un rango estritamente inferior a ${\displaystyle r}$, entón a medida de Hausdorff r-dimensional de ${\displaystyle f(A_{r})}$ é cero. En particular, a dimensión de Hausdorff ${\displaystyle f(A_{r})}$ é como máximo r. Advertencia: a dimensión de Hausdorff ${\displaystyle f(A_{r})}$ pode estar arbitrariamente próxima a r.^[4]

Notas

1. Sard, Arthur (1942). The measure of the critical values of differentiable maps. Bulletin of the American Mathematical Society 48. pp. 883–890. MR 0007523. Zbl 0063.06720. doi:10.1090/S0002-9904-1942-07811-6. 
2. Morse, Anthony P. (xaneiro de 1939). The behaviour of a function on its critical set. Annals of Mathematics 40. pp. 62–70. Bibcode:1939AnMat..40...62M. JSTOR 1968544. MR 1503449. doi:10.2307/1968544. 
3. Smale, Stephen (1965). An Infinite Dimensional Version of Sard's Theorem. American Journal of Mathematics 87. pp. 861–866. JSTOR 2373250. MR 0185604. Zbl 0143.35301. doi:10.2307/2373250. 
4. Show that f(C) has Hausdorff dimension at most zero. Stack Exchange. July 18, 2013. 

Véxase tamén

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Teorema de Sard

Bibliografía

• Hirsch, Morris W. (1976). Differential Topology. New York: Springer. pp. 67–84. ISBN 0-387-90148-5. 
• Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on Differential Geometry. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. MR 0193578. Zbl 0129.13102.