Teorema de Weierstrass

Unha función continua ${\displaystyle f(x)}$ no intervalo pechado ${\displaystyle [a,b]}$ que mostra o máximo absoluto (vermello) e o mínimo absoluto (azul).

En cálculo, o teorema de Weierstrass ou teorema do valor extremo indica que se unha función ${\displaystyle f}$ é continua no intervalo pechado e limitado ${\displaystyle [a,b]}$, entón ${\displaystyle f}$ debe acadar un máximo e un mínimo, cada un deles polo menos unha vez. É dicir, existen números ${\displaystyle c}$ e ${\displaystyle d}$ en ${\displaystyle [a,b]}$ tal que: $${\displaystyle f(c)\geq f(x)\geq f(d)\quad \forall x\in [a,b]}$$

O teorema do valor extremo úsase para demostrar o teorema de Rolle. Nunha formulación debida a Karl Weierstrass, este teorema afirma que unha función continua desde un espazo compacto non baleiro ata un subconxunto dos números reais alcanza un máximo e un mínimo.

Comparación co teorema da limitación

O teorema de Weierstrass é máis específico que o teorema da limitación, co que está relacionado, este último só indica que unha función continua ${\displaystyle f}$ no intervalo pechado ${\displaystyle [a,b]}$ está limitada nese intervalo; é dicir, existen números reais ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle M}$ tal que: $${\displaystyle m\leq f(x)\leq M\quad \forall x\in [a,b].}$$

Isto non di que ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle m}$ sexan necesariamente os valores máximos e mínimos de ${\displaystyle f}$ no intervalo ${\displaystyle [a,b],}$ que é o que estipula o teorema de Weierstrass.

Historia

O teorema do valor extremo foi probado orixinalmente por Bernard Bolzano na década de 1830 nun traballo Teoría da función, pero o traballo permaneceu inédito ata 1930. A demostración de Bolzano consistiu en mostrar que unha función continua nun intervalo pechado estaba acotada, e despois mostrando que a función alcanzou un valor máximo e un valor mínimo. Ambas as dúas probas implicaron o que hoxe se coñece como Teorema de Bolzano–Weierstrass.^[1]

Funcións ás que non se aplica o teorema

Os seguintes exemplos mostran por que o dominio da función debe estar pechado e limitado para que se aplique o teorema. Cada un dos exemplos non alcanza un máximo no intervalo indicado.

1. ${\displaystyle f(x)=x}$ definido sobre ${\displaystyle [0,\infty )}$ non está limitado superiormente.
2. ${\displaystyle f(x)={\frac {x}{1+x}}}$ definido sobre ${\displaystyle [0,\infty )}$ está limitado mais non alcanza o seu límite superior mínimo ${\displaystyle 1}$.
3. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ definido sobre ${\displaystyle (0,1]}$ non está limitado superiormente.
4. ${\displaystyle f(x)=1-x}$ definido sobre ${\displaystyle (0,1]}$ está limitado mais nunca alcanza o seu límite superior mínimo ${\displaystyle 1}$.

Definir ${\displaystyle f(0)=0}$ nos dous últimos exemplos mostra que ambos os teoremas requiren continuidade en ${\displaystyle [a,b]}$.

1. Rusnock, Paul; Kerr-Lawson, Angus (2005). "Bolzano e a continuidade uniforme". Historia Mathematica 32 (3): 303–311. doi:10.1016/j.hm.2004.11.003.