Trapecio tanxencial

Un trapecio tanxencial

Na xeometría euclídea, un trapecio tanxencial ou trapecio circunscrito é aquel cuxos lados son tanxentes a unha circunferencia situada dentro do propio trapecio (circunferencia inscrita ou incírculo). É un caso especial de cuadrilátero tanxencial, no que polo menos un par de lados opostos son paralelos. Os lados paralelos chámanse bases. As arestas laterais poden ser iguais (entón é isóscele), pero non teñen por que. Casos especiais de trapecios tanxenciais son os rombos e os cadrados.

Área

A fórmula para a área dun trapecio pódese obter usando o teorema de Pitot para obter a área dun trapecio tanxencial. Se as bases teñen lonxitudes a e b, e calquera dos outros dous lados ten lonxitude c, entón a área K vén dada pola fórmula^[1]

${\displaystyle K={\frac {a+b}{|b-a|}}{\sqrt {ab(a-c)(c-b)}}.}$

A área pódese expresar en termos das lonxitudes tanxentes e, f, g, e h como ^:p.129

${\displaystyle K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}$

Inradio

Usando esa mesma notación, o raio do incírculo é

${\displaystyle r={\frac {K}{a+b}}={\frac {\sqrt {ab(a-c)(c-b)}}{|b-a|}}.}$

O seu diámetro é igual á altura do trapecio tanxencial.

O inradio tamén se pode expresar como

${\displaystyle r={\sqrt[{4}]{efgh}}.}$

Ademais, se as lonxitudes tanxentes e, f, g e h dependen respectivamente dos vértices A, B, C, e D; e AB é paralelo a DC, entón

${\displaystyle r={\sqrt {eh}}={\sqrt {fg}}.}$

Propiedades do incentro

Se o círculo é tanxente ás bases en P e Q, entón P, I e Q son colineais, sendo I o incentro.^[2]

Os ángulos AID e BIC nun trapecio tanxencial ABCD, con bases AB e DC, son ángulos rectos.^[2]

O incentro atópase na mediana (tamén chamada segmento medio, o segmento que conecta os puntos medios das arestas laterais).^[2]

Outras propiedades

A mediana dun trapecio tanxencial é igual a un cuarto do perímetro do trapecio. Tamén é igual á metade da suma das bases, como en todos os trapecios.

Se debuxamos dous círculos, cada un de diámetro coincidente coas arestas laterais dun trapecio tanxencial, entón estes dous círculos son tanxentes entre si.^[3]

Trapecio tanxencial recto

Un trapecio tanxencial recto.

Un trapecio tanxencial recto posúe dous ángulos rectos adxacentes . Se as bases teñen lonxitudes a e b, entón o radio é ^[4]

${\displaystyle r={\frac {ab}{a+b}}.}$

Así, o diámetro do incírculo é a media harmónica das bases.

O trapecio tanxencial recto ten a área

${\displaystyle \displaystyle K=ab}$

e o seu perímetro P é

${\displaystyle \displaystyle P=2(a+b).}$

Trapecio tanxencial isóscele

Cada trapecio tanxencial isóscele é bicéntrico

Un trapecio tanxencial isóscele ten as súas arestas laterais iguais. Dado que é cíclico, un trapecio tanxencial isóscele é un cuadrilátero bicéntrico. É dicir, ten unha circunferencia inscrita e unha circunferencia circunscrita.

Se as bases son a e b, entón o inradio vén dado por^[5]

${\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}.}$

Deducir esta fórmula é un problema que xa aparecía nas táboas Sangaku do Xapón, entre os séculos XVII e XIX.

Do teorema de Pitot dedúcese que as lonxitudes das arestas laterais son a metade da suma das bases. Dado que o diámetro do incírculo é a raíz cadrada do produto das bases, un trapecio tanxencial isóscele ofrece unha boa interpretación xeométrica da media aritmética e a media xeométrica das bases como a lonxitude dunha aresta lateral e do diámetro do incirculo, respectivamente.

A área K dun trapecio isósceles tanxencial con bases a e b vén dada por ^[6]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}(a+b).}$

Notas

1. H. Lieber and F. von Lühmann, Trigonometrische Aufgaben, Berlin, Dritte Auflage, 1889, p. 154.
2. J. Wilson, Problem Set 2.2, The University of Georgia, 2010.
3. Chernomorsky Lyceum, Inscribed and circumscribed quadrilaterals, 2010.
4. "Circle inscribed in a trapezoid, Art of Problem Soving, 2011". Arquivado dende o orixinal o 20 de decembro de 2021. Consultado o 07 de maio de 2021. 
5. MathDL, Inscribed circle and trapezoid, The Mathematical Association of America, 2012.
6. Abhijit Guha, CAT Mathematics, PHI Learning Private Limited, 2014, p. 7-73.