אינטגרביליות במידה שווה

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

אינטגרביליות במידה שווה הוא מושג יסודי באנליזה פונקציונלית ובתורת המידה וההסתברות. המושג משמש רבות בתאוריה של מרטינגלים, וחשיבותו העקרונית באה לידי ביטוי במשפט ההתכנסות של ויטלי.

הגדרה

הגדרה בתורת המידה

יהי ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}},\mu \right)}$ מרחב מידה בעל מידה לא טריוויאלית, יהי ${\displaystyle L^{1}}$ מרחב הפונקציות המדידות ובעלות אינטגרל סופי במרחב המידה הנתון, ותהי ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset L^{1}}$ משפחה של פונקציות כלשהן.

אומרים כי ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ היא אינטגרבילית במידה שווה, אם לכל ${\displaystyle \epsilon >0}$ קיים ${\displaystyle \delta >0}$, כך שלכל ${\displaystyle f\in {\mathcal {A}}}$, לכל קבוצה ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$ המקיימת ${\displaystyle \mu \left(E\right)<\delta }$, מתקיים ${\displaystyle \left|\int _{E}fd\mu \right|<\epsilon }$.

הגדרה בתורת ההסתברות

אם נתרגם את ההגדרה שבתורת המידה למרחב הסתברות ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)}$, אומרים כי משפחה של משתנים מקריים ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ בעלי תוחלת סופית היא אינטגרבילית במידה שווה, אם לכל ${\displaystyle \epsilon >0}$ קיים ${\displaystyle \delta >0}$, כך שלכל ${\displaystyle X\in {\mathcal {A}}}$, לכל מאורע ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$ המקיים ${\displaystyle \mathbb {P} \left(E\right)<\delta }$, מתקיים ${\displaystyle \mathbf {E} \left[\left|X\right|\cdot 1_{E}\right]<\epsilon }$.

עם זאת, בהקשר של תורת ההסתברות נהוג להוסיף את הדרישה כי התוחלת של כל המשתנים המקריים ב-${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ תהיה חסומה במידה שווה. כלומר שלא רק תהיה סופית, אלא שיהיה חסם ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ כך שלכל ${\displaystyle X\in {\mathcal {A}}}$ יתקיים ${\displaystyle \mathbf {E} \left[X\right]\leq M}$.

תחת הדרישה הנוספת לגבי חסימות התוחלות במידה שווה, ניתן להראות כי ההגדרה ההסתברותית לאינטגרביליות במידה אחידה שקולה להגדרה הבאה: משפחה של משתנים מקריים ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ בעלי תוחלת סופית היא אינטגרבילית במידה שווה, אם לכל ${\displaystyle \epsilon >0}$ קיים ${\displaystyle C\geq 0}$, כך שלכל ${\displaystyle X\in {\mathcal {A}}}$ מתקיים ${\displaystyle \mathbf {E} \left[X\cdot 1_{\left|X\right|\geq C}\right]<\epsilon }$.

הצורה השקולה להגדרה ההסתברותית לאינטגרביליות במידה שווה, מובילה לתוצאה כי אם משפחה של משתנים מקריים ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ היא אכן אינטגרבילית במידה שווה, הרי שלכל ${\displaystyle \epsilon >0}$ קיים ${\displaystyle C>0}$ כך שמתקיים ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\left|X\right|>C\right)<\epsilon }$.^[1]

הקשר להתכנסות בממוצע ולהתכנסות בהסתברות

ערך מורחב – משפט ההתכנסות של ויטלי

ניתן להראות כי סדרת משתנים מקריים ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\left\{X_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ מתכנסת בממוצע למשתנה מקרי ${\displaystyle X}$, אם ורק אם היא מתכנסת בהסתברות לאותו גבול, וגם אינטגרבילית במידה שווה (במובן ההסתברותי).

טענה זו נובעת מידית ממשפט ההתכנסות של ויטלי, והיא למעשה מהווה הכללה של משפט ההתכנסות הנשלטת.

לקריאה נוספת

• אלן גוט, "Probability: A Graduate Course", פרק 4 ("Uniform Integrability", עמוד 214), ספרינגר, 2005

הערות שוליים

1. גוט, עמוד 236