אקוטוטיאנט

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, אקוטוטיאנט הוא מספר טבעי n שלא ניתן לבטא אותו כהפרש בין מספר טבעי m לבין כמות המספרים הקטנים מ-m שזרים ל-m.

הגדרה

בניסוח פורמלי יותר: מספר טבעי כלשהו ${\displaystyle n}$ הוא מספר אקוטוטאינטי אם ורק אם למשוואה ${\displaystyle m-\varphi (m)=n}$, כאשר ${\displaystyle \varphi }$ מייצג את פונקציית אוילר, אין פתרון מעל המספרים הטבעיים.

הקוטוטיאנט של m מוגדר כהפרש ${\displaystyle m-\varphi (m)}$, כלומר, כמות המספרים הקטנים מ-m שאינם זרים לו.

ולכן הגדרה נוספת היא: מספר טבעי כלשהו ${\displaystyle n}$ הוא מספר אקוטוטאינטי אם ורק אם הוא אינו קוטוטיאנט של אף מספר טבעי.

תחילתה של סדרת המספרים האקוטוטיאנטים היא:

10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490,..^[1].

זוגיות המספרים האקוטוטיאנטים

משוער כי כל המספרים האקוטוטיאנטים הם זוגיים. ההשערה מתבססת על השערת גולדבך: אם ניתן לייצג את המספר הזוגי n כסכום של שני ראשוניים שונים p ו-q, אזי

${\displaystyle pq-\varphi (pq)=pq-(p-1)(q-1)=p+q-1=n-1}$

כלומר, המספר האי זוגי ${\displaystyle n-1}$ הוא הקוטוטיאנט של ${\displaystyle pq}$, ולכן אינו אקוטונטיאנט.

לפי השערת גולדבך, כל מספר זוגי גדול מ-6 הוא סכום של שני מספרים ראשוניים נפרדים, כך שככל הנראה, אף מספר אי-זוגי שגדול מ-5 אינו אקוטוטיאנט. שאר המספרים האי-זוגיים אינם אקוטוטיאנטים כי: ${\displaystyle 1=2-\varphi (2),3=9-\varphi (9)}$ ו ${\displaystyle 5=25-\varphi (25)}$ .

עבור מספרים זוגיים, ניתן להראות כי

${\displaystyle 2pq-\varphi (2pq)=2pq-(p-1)(q-1)=pq+p+q-1=(p+1)(q+1)-2}$

לפיכך, כל המספרים הזוגיים n שעבורם מתקיים: ${\displaystyle (p+1)\times (q+1)=n+2}$ (כש ${\displaystyle n=p+q}$ מספרים ראשוניים כלשהם) הם קוטוטיאנטים.

סדרות קשורות

26	25	24	23	22	21	20	19	18	17	16	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	n
סדרת הקוטוטיאנט של n[2]
14	5	16	1	12	9	12	1	12	1	8	7	8	1	8	1	6	3	4	1	4	1	2	1	1	0	-	cototient(n)
סדרת המספרים k כך ש k המספר הכי קטן שהקוטוטיאנט שלו הוא n (0 אם לא קיים k כזה - כלומר אם n אקוטוטיאנט):[3]
0	69	36	95	30	45	38	51	34	65	24	39	26	33	18	35	0	21	12	15	10	25	6	9	4	2	1	k
סדרת המספרים l כך ש l המספר הכי גדול שהקוטוטיאנט שלו הוא n (0 אם לא קיים l כזה - כלומר אם n אקוטוטיאנט):[4]
0	133	46	529	30	85	38	361	34	289	32	55	26	169	22	121	0	27	16	49	10	25	8	9	4	∞	1	l
סדרת המספרים s כך ש-s הוא כמות המספרים שהם הקוטוטיאנט של n:[5]
0	3	4	4	1	3	1	3	1	3	3	2	1	2	3	2	0	2	3	2	1	1	2	1	1	∞	1	s

שכיחות האקוטיאנטים

ארדש (1913-1996) ו-שרפינסקי (1882-1969) חקרו האם קיימים אינסוף מספרים אקוטוטיאנטים. לבסוף הוכח על ידי Browkin and Schinzel (1995) כי אכן קיימים אינסוף מספרים אקוטוטיאנטים, השניים הראו כי כל אחד מהאיברים בסדרה האינסופית ${\displaystyle 2^{k}\cdot 509203}$ הוא מספר אקוטוטיאנטי. מאז התגלו סדרות אינסופיות נוספות, מצורה דומה, שגם עבורן כל איבריהן הם מספרים אקוטוטיאנטים.

לקריאה נוספת

• Browkin, J.; Schinzel, A. (1995). J. Browkin, A. Schinzel, On integers not of the form \(n-\varphi(n)\), Colloquium Mathematicum 68, 1995, עמ' 55–58 doi: 10.4064/cm-68-1-55-58.
• Flammenkamp, A.; Luca, F. (2000). A. Flammenkamp, F. Luca, Infinite families of noncototients, Colloquium Mathematicum 86, 2000, עמ' 37–41 doi: 10.4064/cm-86-1-37-41.
• Guy, Richard K. (2004). Richard K. Guy, Unsolved problems in number theory, 3rd ed., New York, NY: Springer-Verlag, 2004, Probl. Books Math.. (בenglish).

קישורים חיצוניים

• הגדרת אקוטוטיאנטיות לפי MathWorld
• אקוטוטיאנט, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. סדרה A005278 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
2. סדרה A051953 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
3. סדרה A063507 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
4. סדרה A063748 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
5. סדרה A063740 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים