משפט הכדור השעיר

ראש מסורק של תינוק

משפט הכדור השעיר (הנקרא לעיתים גם משפט הקיפוד^[1]) הוא משפט ידוע בטופולוגיה אלגברית שבניסוחו הפופולרי טוען שאי אפשר לסרק כדור שעיר (כלומר לשטח את שערותיו) באופן חלק (כלומר רציף) בלי להשאיר נקודה קרחת או שיערה בולטת.

הנסוח המתמטי והכללי יותר אומר שאין שדה וקטורי על ספירה n ממדית כש-n זוגי^[2][3] (הגדרה הכוללת את הספירה הרגילה - כלומר מעטפת הכדור שבה n=2) המשיק לספירה בכל נקודה ושאינו מתאפס באף נקודה. המשמעות עבור הספירה הרגילה היא שאם f היא פונקציה רציפה המחזירה וקטור תלת־ממדי לכל נקודה על הספירה כך ש (f(p תמיד משיקה לספירה בנקודה p, אזי קיימת לפחות נקודה p אחת שעבורה f(p) = 0. הטענה והוכחתה ניתנו על ידי פואנקרה ובראואר.

נביעת הטענה ממשפט פואנקרה-הופף

איור 1: שדה וקטורי על כדור עם נקודה קריטית אחת בעלת אינדקס 2. ראו גם גרסת אנימציה של הכדור.

ראשית כמה הגדרות:

• אינדקס של נקודה קריטית מבודדת: ראו את הכדור עם השדה הווקטורי הרציף שבאיור 1. על הכדור ניתן להבחין בנקודה קריטית אחת (כלומר בנקודה שבה הווקטור הוא וקטור האפס). דמינו מעגל קטן מסביב לנקודה זאת כך שמסומנות עליו השעות כמו בשעון. כעת שימו נקודה על "שעה 12" והניעו אותה בכיוון השעון לאורך המעגל. כשהנקודה בשעה 12 הווקטור של השדה מצביע "צפונה" (במישור התמונה). כשהנקודה תגיע ל"שעה 1" הווקטור כבר יצביע לכוון "צפון מזרח" בערך. ב"שעה 3" הווקטור יצביע "דרומה" ועד "שעה 6" הוא ישלים סיבוב שלם ויצביע שוב "צפונה". בין "שעה 6" בחזרה ל"שעה 12" בכיוון השעון הווקטור של הנקודה ישלים עוד סבוב שלם נוסף. סך הכל במהלך הסבוב של הנקודה בכיוון השעון הווקטור של השדה ישלים שני סבובים בכיוון השעון. על כן האינדקס של הנקודה הקריטית הזאת מוגדר להיות 2. באופן כללי מסכמים את כל הסיבובים השלמים שעושה וקטור השדה במהלך סבוב הנקודה סביב המעגל בכיוון השעון, כשסיבוב שלם של וקטור השדה עם כוון השעון נספר כ 1, וסבוב שלם של וקטור השדה נגד כוון השעון נספר כ 1-. לנקודות קריטיות יכולים להיות ערכי אינדקס שונים בהתאם לשדה הווקטורי המקיף אותן. להגדרה פורמלית יותר של האינדקס של נקודה קריטית ראו^[4].
• מאפיין אוילר של משטח דו־ממדי (כמו ספירה רגילה או טורוס למשל) הוא הערך ${\displaystyle \chi =V-E+F\,\!}$ כאשר E מייצג את מספר הצלעות, F מייצג את מספר הפאות ו-V מייצג את כמות הצמתים של פאונים המחלקים את המשטח. פואנקרה הראה^[5] שערך זה נשאר קבוע עבור משטח ללא תלות בצורת הפאון, ולכן הערך הוא מאפיין של המשטח. קל לראות שמאפיין אוילר של ספירה הוא 2 וזה של טורוס הוא 0.

איור 2: טורוס בעל מאפיין אוילר 0 ניתן לסרק בקלות בצורה חלקה ללא קרחות או שערות עומדות

משפט פואנקרה-הופף^[6] אומר שעבור שדה וקטורי V רציף ומשיק למשטח קומפקטי, קשיר ואוריינטבילי סכום האינדקסים של הנקודות הקריטיות של V שווה למאפיין אוילר של המשטח. במקרה של כדור (או כל צורה שקולה טופולוגית לכדור) מאפיין אוילר הוא כאמור 2, ולכן סכום האינדקסים של הנקודות הקריטיות שווה ל 2, ומכאן שקיימת לפחות נקודה קריטית אחת (כמו באיור 1). לטורוס כאמור מאפיין אוילר 0 ולכן לא חייבת להיות לו נקודה קריטית ומשפט ה"כדור השעיר" אינו תקף. ואמנם קל לראות שניתן "לסרק" טורוס באופן חלק ללא קרחות או שערות עומדות - ראו איור 2.

השלכות

ציקלונים

למשפט הכדור השעיר יש השלכות מפתיעות בתחום המטאורולוגיה^[7]. הטלת כיוון הרוחות על פני כדור הארץ מהווה שדה וקטורי רציף ולכן, לפי משפט הכדור השעיר, בכל רגע נתון יש על כדור הארץ לפחות מקום אחד בו הרכיב האופקי של הרוח הוא 0, כלומר מקום בו אין רוח או מקום בו לרוח יש רק רכיב ניצב לאדמה. במונחים מטאורולוגים, הנקודה הקריטית הזאת תימצא במרכז של ציקלון או אנטי-ציקלון. ליתר דיוק, כיוון שאוויר האטמוספירה הוא רב שכבתי הרי שבכל שכבה קיימת נקודה שכזאת.

גרפיקה ממוחשבת

לעיתים קרובות תוכנת מחשב המבצעת חישובים לצורך גרפיקה ממוחשבת זקוקה לחשב וקטור תלת־ממדי ניצב לוקטור נתון אחר. ממשפט הכדור השעיר נובע שאי אפשר לכתוב פונקציה אחת רציפה שתבצע משימה זאת עבור כל וקטור קלט אפשרי. כדי להשתכנע בכך, דמיינו ספירה סביב מוקד מסוים, והניחו שהפונקציה מקבלת כל פעם כקלט וקטור המצביע מהמוקד אל מקום כלשהו על הספירה. על הפונקציה לחשב וקטור ניצב לוקטור הקלט, או במילים אחרות וקטור משיק לספירה. ממשפט הכדור השעיר נובע שלא קיימת פונקציה רציפה שתחזיר תמיד וקטורים לא מאופסים.

פונקציה מספירה על עצמה

ממשפט הכדור השעיר נובע שלכל פונקציה רציפה מספירה על עצמה יש או נקודת שבת (נקודה הממופה לעצמה) או נקודה הממופה לנקודה האנטיפודית שלה (כלומר לנקודה הנמצאת בדיוק מולה מעבר למרכז הספירה). כדי להשתכנע בכך, תהי s הפונקציה הממפה את הספירה על עצמה, כלומר כל נקודה p על הספירה ממופה ל (s(p שגם היא על הספירה. כעת נגדיר שדה וקטורי רציף (v(p עבור הנקודות של הספירה כדלהלן: עבור כל נקודה p שעל הספירה ניקח את המישור המשיק לספירה בנקודה p - נקרא למישור זה M. נקרא לנקודה האנטיפודית לp בשם q. כעת נבצע הטלה סטריאוגרפית ל (s(p ממרכז ההטלה q אל המישור M. במילים אחרות, נעביר ישר בין q ל (s(p, ונסמן את המפגש של ישר זה עם המישור M בשם vp. ערך השדה הווקטורי (v(p יוגדר להיות הווקטור בין p לvp שהוא וקטור משיק לספירה בנקודה p. כיוון ששדה v כזה הוא רציף הרי שנובע ממשפט הכדור השעיר שיש נקודה p בה הוא מתאפס, או במילים אחרות ש v(p)=0 ולכן s(p)=p. נימוק זה תקף רק אם (s(p אינו שווה בעצמו ל q, כיוון שהטלה סטריאוגרפית אינה מוגדרת עבור מרכז ההטלה עצמו. לסכום, או שקיימת p כך ש s(p)=p או שקיימת p כך ש s(p)=q.

ראו גם

• אנרי פואנקרה
• טופולוגיה אלגברית
• מאפיין אוילר
• ספירה (גאומטריה)

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט הכדור השעיר בוויקישיתוף

• Eisenberg, Murray; Guy, Robert (1979), "A Proof of the Hairy Ball Theorem", The American Mathematical Monthly, 86 (7): 571–574, doi:10.2307/2320587
• משפט הכדור השעיר, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. Renteln, Paul (2013). Manifolds, Tensors, and Forms: An Introduction for Mathematicians and Physicists. Cambridge Univ. Press. p. 253. ISBN 1107659698.
2. Burns, Keith; Gidea, Marian (2005). Differential Geometry and Topology: With a View to Dynamical Systems. CRC Press. p. 77. ISBN 1584882530.
3. Schwartz, Richard Evan (2011). Mostly Surfaces. American Mathematical Society. pp. 113–114. ISBN 0821853686.
4. Michael Henle, A Combinatorial Introduction to Topology, Dover publications, New York, 1979, עמ' 50-48.
5. Michael Henle, A Combinatorial Introduction to Topology, Dover publications, New York, 1979, עמ' 168-167.
6. Michael Henle, A Combinatorial Introduction to Topology, Dover publications, New York, 1979, עמ' 206-200.
7. Clifford A. Pickover, The Math Book, Sterling Publishing, New York, 2009, עמ' 326.