אופרטור הצפיפות

בפיזיקה, אופרטור הצפיפות הוא אופרטור ליניארי המשמש לטיפול בתכונות סטטיסטיות של מערכת קוונטית. ההצגה המטריציונית של אופרטור הצפיפות בבסיס כלשהו מכונה מטריצת צפיפות.

הפורמליזם של אופרטור הצפיפות הוצג על ידי ג'ון פון נוימן בשנת 1927.

הגדרה

אופרטור הצפיפות הוא כלי מתמטי שנועד לטיפול במערכת קוונטית הנמצאת במצב מעורב (mixed state), כלומר צבר של מערכות הנמצאות במצבים קוונטים שונים המתפלגים סטטיסטית. זאת בניגוד למערכת הנמצאת במצב טהור (pure state). אופרטור הצפיפות יכול לשמש גם לטיפול במערכת שהמצב שלה אינו ידוע בוודאות.

נניח שהמערכת יכולה להמצא בכל אחד מן המצבים ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$^[1], כאשר ההסתברות להמצא במצב ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ נתונה על ידי ${\displaystyle \ w_{i}}$. אופרטור הצפיפות עבור מערכת זו מוגדר על ידי $${\displaystyle {\hat {\rho }}=\sum _{i}w_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$$

תכונות

• אופרטור הצפיפות הוא אופרטור הרמיטי.
• לאופרטור הצפיפות עקבה 1: ${\displaystyle tr({\hat {\rho }})=1}$. כמו כן מתקיים ${\displaystyle tr({\hat {\rho }}^{2})\leq 1}$ כאשר שוויון מתקבל עבור מערכת במצב טהור.
• במצב טהור אופרטור הצפיפות הוא אופרטור הטלה, כלומר מקיים ${\displaystyle {\hat {\rho }}^{2}={\hat {\rho }}}$.
• ההתפתחות בזמן של אופרטור הצפיפות נתונה על ידי:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial {\hat {\rho }}}{\partial t}}=-[{\hat {\rho }},{\mathcal {H}}]}$^[2]

שימושים

השימוש העיקרי של אופרטור הצפיפות הוא חישוב ערכי תצפית של גדלים פיזיקליים.

ערך התצפית, כלומר הערך הממוצע המתקבל במדידת גודל פיזיקלי המתואר על ידי אופרטור ${\displaystyle \ A}$ נתון על ידי: $${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{i}w_{i}\langle \psi _{i}|A|\psi _{i}\rangle =tr({\hat {\rho }}A)}$$ ביטוי זה מכיל מיצוע כפול - על ההסתברות למציאת המערכת או החלקיק במצב ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$, ועל תוצאות המדידה האפשריות עבור מצב זה.

מכניקה סטטיסטית קוונטית

בעזרת אופרטור הצפיפות ניתן לטפל בתכונות סטטיסטיות של מערכות קוונטיות - מכניקה סטטיסטית קוונטית. את הגודל הבסיסי של הפיזיקה הסטטיסטית, האנטרופיה, ניתן להביע בעזרת אופרטור הצפיפות באופן הבא:

${\displaystyle S=-k_{B}tr({\hat {\rho }}\ln {\hat {\rho }})}$.

האנטרופיה של מצב טהור שווה לאפס, ואילו עבור מצב מעורב האנטרופיה גדולה מאפס.

עבור מערכת בשיווי משקל תרמודינמי, ניתן לכתוב את אופרטור הצפיפות על פי הצבר הרלוונטי. כך לדוגמה, עבור מערכת קנונית, ${\displaystyle {\hat {\rho }}={\frac {1}{Z}}e^{-\beta {\mathcal {H}}}}$, כאשר ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ הוא ההמילטוניאן ו-${\displaystyle Z=tr(e^{-\beta {\mathcal {H}}})}$ היא פונקציית החלוקה.

דוגמה

נתבונן במערכת של חלקיקים בעלי ספין 1/2. נניח כי 80% מהחלקיקים במצב ${\displaystyle |\uparrow _{z}\rangle }$ (ספין up בכיוון z) והשאר במצב ${\displaystyle |\downarrow _{x}\rangle }$ (ספין down בכיוון x). אופרטור הצפיפות המתאר את המערכת הוא: $${\displaystyle {\hat {\rho }}=0.8|\uparrow _{z}\rangle \langle \uparrow _{z}|+0.2|\downarrow _{x}\rangle \langle \downarrow _{x}|}$$ המטריצה המתאימה לאופרטור כאשר עובדים בבסיס המצבים העצמיים של ${\displaystyle S_{z}}$ היא:

${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}0.9&-0.1\\-0.1&0.1\end{pmatrix}}}$

ערך התצפית של מדידת הספין בכיוון x יהיה:

${\displaystyle \langle S_{x}\rangle =tr(S_{x}\rho )={\frac {\hbar }{2}}tr{\begin{pmatrix}-0.1&0.1\\0.9&-0.1\end{pmatrix}}=-0.1\hbar }$

כלומר, קיבלנו שערך התצפית של ${\displaystyle S_{x}}$ הוא ${\displaystyle -{\frac {\hbar }{10}}}$ (הערך של פעולת ${\displaystyle S_{x}}$ על ${\displaystyle |\downarrow _{x}\rangle }$) כפול ההסתברות לקבל אותו (${\displaystyle 0.2}$).

לקריאה נוספת

• Claude Cohen-Tannoudji, Quauntum Mechanics (Complement E_III)
• J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics (פרק 3.4)
• R.K. Pathria, Statistical Mechanics (פרק 5.1)

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אופרטור הצפיפות בוויקישיתוף

הערות שוליים

1. מצבים אלו אינם חייבים להיות אורתוגונליים או דיסקרטיים, ומספרם יכול להיות גדול ממימד מרחב המצבים
2. שימו לב לסימן המינוס ביחס למשוואת התנועה של אופרטור בתמונת הייזנברג