אי-שוויון אדמר

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, אי-שוויון אדמר (ידוע גם כמשפט הדטרמיננטות של אדמר^[1]) פורסם לראשונה על ידי ז'אק אדמר ב-1893.^[2] לפי האי-שוויון, הערך המוחלט של דטרמיננטה של מטריצה שערכיה מספרים מרוכבים קטן או שווה למכפלת האורכים של ווקטורי עמודותיה (שורותיה). כאשר למטריצה יש רק ערכים ממשיים, נפח המקבילון במרחב האוקלידי ה-${\displaystyle n}$-ממדי הנפרש על ידי עמודות המטריצה (באמצעות צירופים ליניאריים עם מקדמים לא שליליים קטנים או שווים ל-1) קטן או שווה למכפלת אורכי עמודותיה.

בניסוח פורמלי, אי-שוויון אדמר קובע שאם ${\displaystyle N}$ היא מטריצה בעלת עמודות ${\displaystyle v_{i}}$, ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$, אז

${\displaystyle ,\left|\det(N)\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|}$

ושוויון ייתכן אם ורק אם העמודות של מטריצה ${\displaystyle N}$ אורתוגונליות.

תוצאות

אם הערכים המוחלטים של האיברים של מטריצה ${\displaystyle N}$ חסומים מלעיל על ידי ${\displaystyle B}$, כלומר ${\displaystyle \left|N_{i,j}\right|\leq B}$ לכל ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$, אז מתקיים,

${\displaystyle .\left|\det(N)\right|\leq B^{n}n^{n/2}}$

בפרט, אם הערכים של ${\displaystyle N}$ הם רק ${\displaystyle 1}$ או ${\displaystyle -1}$ אז^[3]

${\displaystyle .\left|\det(N)\right|\leq n^{n/2}}$

בקומבינטוריקה, מטריצה ${\displaystyle N}$ שעבורה מתקיים שוויון, כלומר, שבנוסף לדרישות הקודמות העמודות של ${\displaystyle N}$ הן אורתוגונליות, נקראת מטריצת אדמר.

באופן כללי יותר, נניח ש-${\displaystyle N}$ היא מטריצה מרוכבת מסדר ${\displaystyle n}$, שהערכים המוחלטים של איבריה שלה חסומים מלעיל על ידי ${\displaystyle 1}$, כלומר ${\displaystyle \left|N_{i,j}\right|\leq 1}$ לכל ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$, מאי-שוויון אדמר נובע,

${\displaystyle .|\operatorname {det} (N)|\leq n^{n/2}}$

עבור מטריצה ממשית ${\displaystyle N}$ מתקיים שוויון אם ורק אם ${\displaystyle N}$ היא מטריצת אדמר.

אם מטריצה ${\displaystyle P}$ חיובית למחצה קיימת ${\displaystyle N}$ כך ש - ${\displaystyle P=N^{*}N}$ כאשר ${\displaystyle N^{*}}$ היא המטריצה הצמודה של ${\displaystyle N}$. לכן,

${\displaystyle .\det(P)=\det(N)^{2}\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|^{2}=\prod _{i=1}^{n}p_{ii}}$

כלומר, הדטרמיננטה של מטריצה חיובית למחצה קטן או שווה למכפלת ערכי האלכסון שלה. גם אי-שוויון זה לעיתים מכונה אי-שוויון אדמר.^[2][4]

הוכחה

אם המטריצה ${\displaystyle N}$ היא מטריצה לא הפיכה ולכן הדטרמיננטה שלה היא ${\displaystyle 0}$ והתוצאה היא מיידית. אם המטריצה ${\displaystyle N}$ הפיכה ולכן העמודות של ${\displaystyle N}$ אינן תלויות ליניארית. נסמן ב-${\displaystyle M}$ את המטריצה המתקבלת על ידי חלוקת כל עמודה של ${\displaystyle N}$ באורך שלה. נסמן ב-${\displaystyle e_{i}}$, ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$, את העמודות של ${\displaystyle M}$. ידוע לנו כי הן ווקטורי יחידה ואורכן 1. נוכיח תחילה שהמטריצה ${\displaystyle M}$ מקיימת את טענת המשפט, כלומר, ${\displaystyle .\left|\det M\right|\leq 1}$

נסמן ${\displaystyle P=M^{*}M}$ כאשר${\displaystyle M^{*}}$ היא המטריצה הצמודה של ${\displaystyle M}$, ונניח ש-${\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}}$ הם הערכים העצמיים של ${\displaystyle P}$. מכיוון שאורך כל עמודה של ${\displaystyle M}$ הוא ${\displaystyle 1}$, כל איבר באלכסון הראשי של ${\displaystyle P}$ הוא ${\displaystyle 1}$ ולכן העקבה של ${\displaystyle P}$ היא ${\displaystyle n}$. ניישם את אי-שוויון הממוצעים ונקבל,

${\displaystyle ,\det P=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}\leq {\bigg (}{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\bigg )}^{n}=\left({1 \over n}\operatorname {tr} P\right)^{n}=1^{n}=1}$

מכאן נובע מקרה פרטי של המשפט,

${\displaystyle .\left|\det M\right|={\sqrt {\det P}}\leq 1}$

התוצאה הכללית נובעת מהמקרה הפרטי:

${\displaystyle .\left|\det N\right|={\bigg (}\prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|{\bigg )}\left|\det M\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|}$

אם יש שוויון אז כל הערכים העצמיים של ${\displaystyle P}$ שווים וסכומם ${\displaystyle n}$ ולכן שווים ל-${\displaystyle 1}$. המטריצה ${\displaystyle P}$ היא צמודה לעצמה ולכן ניתנת ללכסון, ומכאן שהיא מטריצת היחידה - במילים אחרות העמודות של ${\displaystyle M}$ הן קבוצה אורתונורמלית והעמודות של ${\displaystyle N}$ הן קבוצה אורתוגונלית.^[5] הוכחות רבות אחרות ניתן למצוא בספרות.

קישורים חיצוניים

• אי-שוויון אדמר, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. "Hadamard theorem - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org. נבדק ב-2020-06-15.
2. Maz'ya & Shaposhnikova
3. Garling
4. Różański, Michał; Wituła, Roman; Hetmaniok, Edyta (2017). "More subtle versions of the Hadamard inequality". Linear Algebra and Its Applications. 532: 500–511. doi:10.1016/j.laa.2017.07.003.
5. Proof follows, with minor modifications, the second proof given in Maz'ya & Shaposhnikova.