אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ

בתורת ההסתברות, אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ הוא אי-שוויון החוסם את המרחק בין התפלגות דגימה לבין ההתפלגות התאורטית שממנה נלקחת הדגימה. אי-השוויון קרוי על-שם המתמטיקאים אריה דבורצקי, ג'ק קיפר (אנ') וג'ייקוב וולפוביץ (אנ') שגילו אותו ב-1956^[1]. בגרסה המקורית הופיע באגף ימין של אי-השוויון גורם קבוע C, שערכו לא הוגדר. ב-1990 מצא Pascal Massart ^[2] את ערכו המדויק של הקבוע, והראה שלא ניתן לשפר את התוצאה מעבר אליו.

אי-השוויון

עבור מספר טבעי ${\displaystyle n}$, יהיו ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ משתנים מקריים ממשיים, בלתי תלויים ושווי התפלגות, עם פונקציית התפלגות ${\displaystyle F}$. נסמן ב- ${\displaystyle F_{n}}$ את פונקציית ההתפלגות המצטברת האמפירית המתקבלת מן המדגם: ${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}1_{(-\infty ,x]}(X_{i}),\quad x\in {\mathbb {R} }.}$. אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ חוסם את הסיכוי שהפונקציה המקרית ${\displaystyle F_{n}}$ תהיה רחוקה מ-${\displaystyle F}$ ביותר מקבוע ${\displaystyle \varepsilon >0}$ במקום כלשהו על הישר הממשי. ליתר דיוק,${\displaystyle \ \mathbb {P} {\Bigl (}\sup _{x\in \mathbb {R} }|F_{n}(x)-F(x)|>\varepsilon {\Bigr )}\leq 2e^{-2n\varepsilon ^{2}}}$ לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$. תוצאה זו מחזקת את משפט גליבנקו-קנטלי, בכך שהיא קובעת את קצב ההתכנסות של המרחק כאשר n גדל לאינסוף. אי-השוויון מספק גם אומדן להסתברות הזנב של הסטטיסטי של קולמוגורוב-סמירנוב.

לדוגמה, אם דוגמים ${\displaystyle n=150}$ ערכים מהתפלגות לא ידועה ${\displaystyle F}$, ומגדירים ${\displaystyle F_{n}}$ כמקודם, אז הסיכוי לכך שתהיה נקודה ממשית שבה ${\displaystyle |F(x)-F_{n}(x)|>0.1}$ קטן מ-${\displaystyle 2e^{-2n\cdot 0.1^{2}}=2e^{-3}\approx 0.1}$. השגיאה יורדת בקצב אקספוננציאלי בגודל המדגם.

הערות שוליים

1. Dvoretzky, A.; Kiefer, J.; Wolfowitz, J. (1956). "Asymptotic minimax character of the sample distribution function and of the classical multinomial estimator". Annals of Mathematical Statistics. 27 (3): 642–669. doi:10.1214/aoms/1177728174. MR 0083864..
2. Massart, P. (1990). "The tight constant in the Dvoretzky–Kiefer–Wolfowitz inequality". Annals of Probability. 18 (3): 1269–1283. doi:10.1214/aop/1176990746. MR 1062069.