אי-שוויון ניוטון

במתמטיקה, אי-שוויון ניוטון (באנגלית: Newton's inequalities) מתייחס לקבוצה של אי-שוויונות הנקראים על שם אייזק ניוטון. ניוטון ניסח והוכיח את האי-שוויונות האלה בספרו אריתמטיקה אוניברסלית (1707), במסגרת ההרחבה שנתן לכלל הסימנים של דקארט.

ניסוח האי-שוויונות

יהיו a₁, a₂, ..., a_n מספרים ממשיים. נסמן ב- ${\displaystyle \sigma _{k}}$ את הביטוי הסימטרי האלמנטרי ה-k במספרים אלו (כלומר ערכו של ${\displaystyle \sigma _{k}}$ הוא הערך של הפונקציה הסימטרית האלמנטרית ה-k כשמציבים במשתנים שלה את מספרים אלו), ונגדיר את הממוצעים הסימטריים האלמנטריים כ-:

${\displaystyle S_{k}={\frac {\sigma _{k}}{\binom {n}{k}}}}$.

אי-שוויון ניוטון קובע כי הממוצעים הסימטריים מקיימים את האי-שוויון:

${\displaystyle S_{k-1}S_{k+1}\leq S_{k}^{2}}$.

כיוון שהערכים של הפונקציות הסימטריות האלמנטריות של קבוצה של n מספרים ממשיים הם למעשה המקדמים של פולינום ממעלה n ששורשיו הם המספרים הממשיים האלה, ניתן לנסח מחדש את האי-שוויון כטענה על מקדמי פולינום שכל שורשיו ממשיים:

${\displaystyle a_{k+1}\cdot a_{k-1}\leq a_{k}^{2}{\frac {k}{k+1}}{\frac {n-k}{n+1-k}}}$,

כאשר ${\displaystyle a_{k}}$ הוא מקדם הפולינום ה-k.