אלגברה לא אסוציאטיבית

מחלקות חשובות של אלגברות לא אסוציאטיביות. בכחול - האלגברות הקומוטטיביות.^[1]

אלגברה לא אסוציאטיבית היא מבנה אלגברי המכליל אלגברות אסוציאטיביות, בו לא נדרשת אקסיומת האסוציאטיביות. במילים אחרות, אלגברה לא אסוציאטיבית היא חוג לא אסוציאטיבי ${\displaystyle A}$ שבמרכזו חוג קומוטטיבי ${\displaystyle C}$.

באלגברות אלו, תכונת האסוציאטיביות עשויה להתקיים גם כאשר היא אינה נדרשת על-פי האקסיומות, ולכן כל אלגברה אסוציאטיבית היא סוג של "אלגברה לא אסוציאטיבית". תכונות והגדרות בסיסיות רבות של אלגברות אסוציאטיביות נשמרות גם במקרה הלא-אסוציאטיבי (כדוגמת הגדרת תת-אלגברות, אידיאלים, אלגברות פשוטות, משפטי האיזומורפיזם). עם זאת, תורת המבנה של אלגברות לא אסוציאטיביות עשירה יותר מזו של האלגברות האסוציאטיביות, ובאותו הזמן גם מסובכת יותר. תכונות מבנה בסיסיות של אלגברות אלו ידועות, אך משפטי מבנה ומיון חזקים כבתורה האסוציאטיבית אינם בנמצא בתורה הלא אסוציאטיבית הכללית.

אלגברות לי, אלגברות ז'ורדן, אלגברות אלטרנטיביות ואלגברות מלצב כולן משפחות חשובות של אלגברות לא אסוציאטיביות, שנחקרו רבות לאורך השנים. בכל אחד מן המקרים האלה מניחים אקסיומות אחרות במקום אקסיומת האסוציאטיביות, המזכות משפחות אלגברות אלו בשם "אלגברות כמעט אסוציאטיביות". במשפחות מוכרות רבות, ישנם משפטי מבנה בעלי אופי דומה לאלו שבתורה האסוציאטיבית.

הגרעין והמרכז

הגרעין (nucleus) של אלגברה לא אסוציאטיבית A כולל את כל האיברים g המקיימים ${\displaystyle (g,x,y)=(x,g,y)=(x,y,g)=0}$ לכל x,y, כאשר ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ,\cdot )}$ הוא האסוציאטור; זוהי תת-אלגברה אסוציאטיבית של A. המרכז מוגדר כאוסף האיברים של הגרעין, המתחלפים עם כל האיברים ב-A.

אלגברת הפעולות של A היא תת-האלגברה ${\displaystyle M(A)\subseteq \operatorname {End} (A)}$ הנוצרות על ידי ההעתקות ${\displaystyle R_{x},L_{x}}$ לכל ${\displaystyle x\in A}$, כאשר ${\displaystyle L_{x},R_{x}:A\rightarrow A}$ מקיימות ${\displaystyle L_{x}(y)=xy}$ ו-${\displaystyle R_{x}(y)=yx}$. אלגברה זו פועלת על A, ויתרה מכך על כל אידיאל של A. אם A היא סוף-ממדית ופשוטה למחצה או פשוטה, אז גם אלגברת הפעולות מקיימת תכונה זו.

ה-centroid של A הוא המֵרָכֶז של ${\displaystyle M(A)}$ ב- ${\displaystyle \operatorname {End} (A)}$; כאשר לאלגברה יש יחידה, המרכז איזומורפי ל-centroid, על ידי ההעתקה ${\displaystyle x\to L_{x}}$. עם זאת, באלגברות פשוטות כלליות ללא יחידה, ה-centroid הוא מונח כללי יותר (שכן המרכז הוא אפס במקרה זה), והאלגברה נלמדת לעיתים כאלגברה מעל מבנה זה.

אידיאל האסוציאטור של A הוא האידיאל כלומר ${\displaystyle D(A)}$ הנוצר על ידי האיברים ${\displaystyle (x,y,z)}$. זהויות המתקיימות בכל אלגברה לא אסוציאטיבית^[2] מבטיחות שהאידיאל שווה ל- ${\displaystyle (A,A,A)+(A,A,A)A=(A,A,A)+A(A,A,A)}$.

נילפוטנטיות, פתירות ורדיקלים

בדומה לתורה האסוציאטיבית, גם במקרה הלא אסוציאטיבי מוגדרים מונחי הנילפוטנטיות והפתירות, באופן המכליל את התורה המוכרת. בהינתן אלגברה לא אסוציאטיבית A, מגדירים באינדוקציה ${\displaystyle A^{1}=A^{(0)}=A}$, ו- ${\displaystyle A^{n+1}=\sum _{i+j=n+1}{A^{i}\cdot A^{j}},\quad A^{(n+1)}=A^{(n)}\cdot A^{(n)}}$. ההגדרה של ${\displaystyle A^{n}}$ "תופסת" את כל סידורי הסוגריים האפשריים.

האלגברה נקראת נילפוטנטית אם קיים ${\displaystyle n}$ עבורו ${\displaystyle A^{n}=0}$, ופתירה אם ${\displaystyle A^{(n)}=0}$. המספר המינימלי המקיים את התכונה נקרא אינדקס הנילפוטניות ואינדקס הפתירות, בהתאמה. כל אלגברה נילפוטנטית היא ודאי פתירה. סכום של כל שני אידיאלים פתירים (בתור אלגברות בפני עצמם) גם הוא אידיאל פתיר; כאשר האלגברה סוף ממדית, מוגדר הרדיקל הפתיר ${\displaystyle S(A)}$ של A, בתור האידיאל הפתיר המקסימלי שלה. אלגברת המנה ${\displaystyle A/S(A)}$ לא מכילה אידיאלים פתירים אמיתיים.

כמו בתורה האסוציאטיבית, הרדיקלים מהווים כלי מחקר של האלגברות - ברגע שנמצא רדיקל מתאים ${\displaystyle R(A)}$ למחלקת האלגברות, נחקרות האלגברות הרדיקליות - המקיימות ${\displaystyle A=R(A)}$, והאלגברואת הפשוטות למחצה, המקיימות ${\displaystyle R(A)=0}$. הגדרת רדיקל כזה איננה פשוטה במקרה הכללי; כך למשל, הרדיקל הנילי לא מוגדר היטב באלגברות לי (בהן תופס את תפקיד הרדיקל החשוב ${\displaystyle S(A)}$). רדיקל חשוב נוסף הוא רדיקל הפשטות, המוגדר בתור האידיאל המינימלי ${\displaystyle N(A)}$, כך שהאלגברה ${\displaystyle A/N(A)}$ מתפרקת לסכום ישר של אלגברות פשוטות. רדיקל זה מוגדר לכל אלגברה סוף-ממדית, ומתלכד עם רדיקל הפתירות במשפחות שצוינו לעיל.

תבניות ביליניאריות

כמו בתורה האסוציאטיבית, גם במקרה זה מעניין לחקור תבניות ביליניאריות של האלגברה, כדי להבין טוב יותר את המבנה שלהן. תבנית עקבה (trace form) של F-אלגברה לא אסוציאטיבית A היא תבנית ביליניארית סימטרית ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ):A\times A\to F}$, המקיימת ${\displaystyle (x,yz)=(xy,z)}$. עבור כל תבנית עקבה כלעיל, וכל אידיאל B של A, מוגדר האידיאל האנכי ל-B מוגדר בתור ${\displaystyle B^{\perp }{}=\{x\in A:(x,b)=0\quad \forall b\in B\}}$, גם הוא אידיאל. הרדיקל של התבנית מוגדר בתור האידיאל ${\displaystyle A^{\perp }}$; התבנית נקראת רגולרית אם הרדיקל שלה אפס.

המשפט המרכזי בהקשר זה הוא כלהלן: תהי A אלגברה לא אסוציאטיבית סוף-ממדית, בעלת תבנית עקבה רגולרית. עוד נניח כי ${\displaystyle B^{2}\neq 0}$ לכל אידיאל ${\displaystyle B\neq 0}$. אזי A היא פשוטה למחצה, כלומר מתפרקת לסכום ישר (יחיד עד כדי סדר) של אידיאלים פשוטים.

שימוש נפוץ בתבנית עקבה הוא באלגברות לי, עליהן מוגדרת תבנית קילינג, אשר מהווה תבנית עקבה של האלגברה, בעזרתה חוקרים תכונות מבנה של האלגברה.

אלגברת הנגזרות

את האלגברה של הנגזרות הפורמליות של A, היינו אוסף ההעתקות שומרות החיבור ${\displaystyle D:A\rightarrow A}$ המקיימות את הזהות ${\displaystyle D(ab)=aD(b)+D(a)b}$ (כלל לייבניץ), מסמנים ב-${\displaystyle \operatorname {Der} (A)}$. זוהי תת-אלגברת לי של ${\displaystyle \operatorname {End} (A)}$ (ביחס לפעולת הקומוטטור).

נגזרת נקראת פנימית, אם היא שייכת לאלגברת-לי הנוצרת על ידי הפעולות ${\displaystyle L_{x},R_{x}}$; זהו אידיאל של ${\displaystyle \operatorname {Der} (A)}$. ידוע שבמאפיין אפס, כל נגזרת של אלגברה פשוטה למחצה מממד סופי, עם יחידה ימנית או שמאלית, היא פנימית.

אלגברה לא אסוציאטיבית עם חילוק

לעומת המקרה האסוציאטיבי, במקרה הלא אסוציאטיבי יש הבדל בין הפיכות מימין ומשמאל של איבר לבין קיום פתרונות למשוואה מהצורה ${\displaystyle ax=b}$ (כאשר ${\displaystyle a\neq 0}$). לכן, מגדירים אלגברה לא אסוציאטיבית עם חילוק בתור אלגברה לא אסוציאטיבית המקיימת את אחד התנאים השקולים הבאים:

• לכל ${\displaystyle a\neq 0,b}$ קיימים ויחידים ${\displaystyle x,x'}$ כך ש-${\displaystyle ax=b,x'a=b}$.
• לכל ${\displaystyle a\neq 0}$ אופרטורי הכפל משמאל ומימין, ${\displaystyle L_{a},R_{a}}$, הפיכים (בתור אופרטורים).

כמו במקרה האסוציאטיבי, אלגברה עם חילוק היא תחום (כלומר - אין מחלקי אפס), ובממד סופי כל תחום הוא אלגברת חילוק.

חוגים סופיים

המשפט הקטן של ודרברן נשאר נכון גם עבור מספר נרחב של מחלקות נפוצות של אלגברות לא אסוציאטיביות - כל אלגברה חילוק סופית אלטרנטיבית/עם חזקה אסוציאטיבית (ממאפיין לא 2) היא שדה. את הטענה האחרונה הוכיח לראשונה אלברט תוך שהוא עובר על כל המקרים ממשפט המיון של אלגברות ז'ורדן; McCrimmon הציג מאוחר יותר הוכחה יונפירומית.

מכפלה טנזורית

אפשר להגדיר מכפלה טנזורית של שתי אלגברות לא אסוציאטיביות - התוצאה היא תמיד אלגברה לא אסוציאטיבית, אבל לא בהכרח מאותה משפחה. לדוגמה, המכפלה של שתי אלגברות אסוציאטיביות היא אלגברה אסוציאטיבית, אבל המכפלה של שתי אלגברות ז'ורדן בדרך כלל אינה אלגברת ז'ורדן.

כמו במקרה האסוציאטיבי, המכפלה הטנזורית של אלגברות לא אסוציאטיביות פשוטות מרכזיות גם היא פשוטה מרכזית.

ראו גם

• אלגברת לי, אלגברת מלצב
• אלגברה אלטרנטיבית
• אלגברת ז'ורדן
• אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית
• רדיקל
• אלגברה צירית

לקריאה נוספת

• An Introduction to Nonassociative Algebra, R. D. Schafer.
• Non-Associative Structures, E. N. Kuzmin, I. P. Shestakov.

קישורים חיצוניים

• אלגברה לא אסוציאטיבית, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. במאפיין שונה מ-3 כל אלגברה קומוטטיבית אלטרנטיבית היא אסוציאטיבית: ${\displaystyle (x,y,z)+(y,z,x)+(z,x,y)=[xy,z]+[yz,x]+[zx,y]}$
2. בפרט, זהות טייכמולר, ${\displaystyle a(x,y,z)+(a,x,y)z=(ax,y,z)-(a,xy,z)+(a,x,yz)}$