אנרגיית וילמור

פיסול של "משטח וילמור" באוניברסיטת דרהאם, לזכרו של תומאס וילמור.

בגאומטריה דיפרנציאלית, אנרגיית וילמור (באנגלית: Willmore energy) היא מדד כמותי לסטייה של משטח סגור (משטח נטול שפה) מספירה דו-ממדית (כדור) מושלמת. מתמטית, אנרגיית וילמור של משטח סגור וחלק המשוכן במרחב אוקלידי תלת-ממדי מוגדרת כאינטגרל המשטחי על ריבוע העקמומיות הממוצעת פחות עקמומיות גאוס שלו. היא נקראת על שם הגאומטרן האנגלי תומאס וילמור (אנ').

הגדרה

כשהיא מבוטאת באופן סימבולי, אנרגיית וילמור של משטח S היא:

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-\int _{S}K\,dA}$

כאשר ${\displaystyle H}$ היא העקמומיות הממוצעת, ${\displaystyle K}$ היא עקמומיות גאוס, ו-dA היא תבנית השטח של S. ערך האינטגרנד מתאפס בדיוק בנקודות אמביליות - נקודות שבהן כל ערכי העקמומיות הנורמלית זהים והמשטח נראה באופן מקומי ככדור. בעבור משטח סגור כללי, לפי משפט גאוס-בונה האינטגרל על עקמומיות גאוס ניתן לחישוב במונחי מאפיין אוילר ${\displaystyle \chi (S)}$ של המשטח, כך ש-

${\displaystyle \int _{S}K\,dA=2\pi \chi (S),}$

ומכיוון ש-${\displaystyle \chi (S)}$ הוא מאפיין טופולוגי של המשטח, ביטוי זה אינו תלוי בשיכון הספציפי ב-${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ שנבחר עבור המשטח. לפיכך, אנרגיית וילמור ניתנת לכתיבה גם כ-

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-2\pi \chi (S)}$

נוסחה חלופית אך שקולה היא

${\displaystyle {\mathcal {W}}={1 \over 4}\int _{S}(k_{1}-k_{2})^{2}\,dA}$

כאשר ${\displaystyle k_{1}}$ ו-${\displaystyle k_{2}}$ הם ערכי העקמומיות הראשיים בנקודה על המשטח.

תכונות

על פי הנוסחה החלופית, אנרגיית וילמור היא אינטגרל על גודל אי-שלילי, ולכן היא עצמה תמיד גדולה או שווה לאפס. לספירה מושלמת יש אנרגיית וילמור אפס בדיוק, ולכן, מהמשפט הקודם נובע שעבור משטח סגור סופי (בעל שטח כולל נתון A) והומיאומורפי לספירה, השיכון היציב ביותר מבחינה אנרגטית הוא של ספירה עם שטח פנים A.

מנקודת המבט של חשבון הווריאציות ניתן לחשוב על אנרגיית וילמור כעל פונקציונל ממרחב השיכונים של משטח נתון אשר אינם משנים אותו מבחינה טופולוגית, אל הממשיים.

היסטוריה ומוטיבציה

המקרה החד-ממדי של אנרגיית וילמור, שהוא אנרגיה של עקומה במישור, נחקר לעומק במהלך המאה ה-18 על ידי המתמטיקאי והפיזיקאי הנודע לאונרד אוילר, במסגרת עבודתו המקיפה על צורתן של עקומות אלסטיות. בתאוריית הכפיפה של קורות מופיע גודל פיזיקלי הנקרא מומנט הכפיפה, שערכו בנקודה נתונה יחסי לעקמומיות ${\displaystyle \kappa }$ של העקומה באותה נקודה. כיוון שכך, האנרגיה הפוטנציאלית האצורה ביחידת אורך של העקומה בנקודה נתונה יחסית לריבוע העקמומיות באותה נקודה (זו מסקנה מכך ש-${\displaystyle dE=\tau \cdot d\theta =\tau \cdot (d\kappa \cdot ds)\propto \kappa \cdot d\kappa \cdot ds=d({\frac {\kappa ^{2}}{2}})\cdot ds}$), מה שמוביל ישירות להגדרה החד-ממדית של אנרגיית וילמור כאינטגרל על ריבוע העקמומיות של העקומה, אשר מתאפס עבור קווים ישרים.

טורוס בעל אנרגיית וילמור מינימלית, עם רדיוס ראשי 2√ ורדיוס משני 1.

גרסאות מוקדמות של אנרגיית וילמור במקרה הדו-ממדי הוצגו בתחילת המאה ה-19 על ידי סימאון דני פואסון וסופי ז'רמן, שהציעו ביטויים לאנרגיית הכיפוף של פלטות דקות אשר נשענו באופן חזק על האינטגרל המשטחי על ביטוי מסוים שמערב את העקמומיות הממוצעת, אולם הפרמול המדויק של אנרגיית וילמור וחקירה שיטתית שלה נעשו רק באמצע המאה ה-20 על ידי המתמטיקאי הבריטי תומאס וילמור. בעוד שהחסם התחתון על אנרגיית וילמור של משטח מגנוס אפס (כלומר, משטח השקול טופולוגית לספירה) הוא אפס (וזהו גם חסם הדוק), וילמור חקר שאלות מורכבות יותר העוסקות בחסמים תחתונים עבור אנרגיות וילמור של משטחים מגנוס גדול מאפס. חישובים מקיפים הובילו את וילמור לנסח ב-1965 השערה מרכזית בגאומטריה דיפרנציאלית (השערת וילמור), העוסקת בחסם התחתון על אנרגיית וילמור של השיכונים האפשריים של הטורוס:

בעבור כל שיכון M של הטורוס במרחב R³, מתקיים W(M) ≥ 2π².

מקורות

• Magdalena D. Toda, Willmore Energy and Willmore Conjecture, 2017, ISBN 9781315151830