בעיה מילולית

בתחום הוראת המתמטיקה, בעיה מילולית היא שאלה המנוסחת בשפת יום-יום שפתרונה דורש שימוש בכלים מתמטיים.

מטרתן של בעיות מילוליות להדגים לתלמיד את השימושיות של מתמטיקה ביום-יום ולהקנות לתלמיד כלים לפתור בעיות יום-יום באמצעות מתמטיקה. בעיות מילוליות יכולות להוסיף עניין ללימוד המתמטיקה ולהפוך את התחום למוחשי יותר. מבחינה היסטורית, הספרות המתמטית בעת העתיקה לימדה עקרונות מתמטיים כלליים בעיקר באמצעות פתרון בעיות מילוליות.

פתרון בעיה מילולית מורכב משני שלבים: בשלב הראשון ממדלים את הבעיה באופן מתמטי, ובשלב השני מפעילים כלים מתמטיים על המודל כדי להגיע לפתרון.

דוגמאות

• בעיה: לבריכה העירונית יש שלושה ברזים הממלאים אותה. לברז הראשון נחוצות שעתיים כדי למלא את הבריכה, לברז השני נחוצות שלוש שעות כדי למלא את הבריכה ואילו לברז השלישי נחוצות שש שעות כדי למלא את הבריכה. כמה זמן ייקח לשלושת הברזים למלא את הבריכה אם כולם נפתחים יחדיו (ובהנחה שקצב הזרימה בכל הברזים אחיד)?

פתרון: נסמן את נפח הבריכה ב-${\displaystyle V}$ ואת הזמן הנחוץ למלא אותה עם שלושת הברזים ב-${\displaystyle t}$ (שעות). הברז הראשון ממלא בשעה ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}V}$ ולכן ב-${\displaystyle t}$ שעות ימלא ${\displaystyle {\tfrac {t}{2}}V}$. באופן דומה הברזים השני והשלישי ממלאים בזמן ${\displaystyle t}$ שעות נפחים של ${\displaystyle {\tfrac {t}{3}}V}$ ו-${\displaystyle {\tfrac {t}{6}}V}$ בהתאמה. לפי הגדרת ${\displaystyle t}$ זהו הזמן בו הבריכה מלאה, כלומר כל הברזים יחדיו מילאו נפח של ${\displaystyle V}$. תנאי זה ניתן לתרגום למשוואה ליניארית: ${\displaystyle {\tfrac {t}{2}}V+{\tfrac {t}{3}}V+{\tfrac {t}{6}}V=V}$. חלוקת המשוואה ב-${\displaystyle V}$ וחיבור השברים נותן ${\displaystyle t=1}$. הפתרון הסופי הוא ששלושת הברזים יחדיו ממלאים את הבריכה בשעה אחת בדיוק. נבחין כי הפתרון לא היה תלוי כלל בערכו של הנפח ${\displaystyle V}$ כצפוי מניסוח הבעיה. בעיות בעלות אופי דומה מתקבלות מחישוב התנגדות חשמלית במעגל חשמלי עם נגדים המחוברים במקביל.

• בעיה: לחוואי יש גדר שאורכה 400 מטרים והוא מעוניין להקיף עמה שטח מלבני גדול ככל הניתן. כיצד עליו לעשות זאת?

פתרון: נסמן את אורך המלבן ב-${\displaystyle x}$ ואת רוחבו ${\displaystyle y}$. לפי הנתון והנוסחה להיקף של מלבן מתקיים: ${\displaystyle 2(x+y)=400}$. נחלץ את ${\displaystyle y}$ במשוואה ונקבל: ${\displaystyle y=200-x}$. לכן שטח המלבן הוא ${\displaystyle S=xy=x(200-x)=200x-x^{2}}$. אנו מעוניינים למצוא את הערך של ${\displaystyle x}$ כך ש-${\displaystyle S}$ יהיה מקסימלי. השיטה היעילה ביותר למציאת מקסימום של פונקציה היא באמצעות משפט פרמה (שקובע שבנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת), אולם במקרה הזה אין צורך לערב חשבון דיפרנציאלי. על ידי השלמה לריבוע מקבלים ${\displaystyle S=200x-x^{2}=100^{2}-100^{2}+200x-x^{2}=100^{2}-(100-x)^{2}}$. מכיוון שריבוע הוא תמיד חיובי ביטוי זה שווה לכל היותר ל-${\displaystyle 100^{2}}$ וזהו בדיוק הערך המתקבל בנקודה ${\displaystyle x=100}$ ולכן זוהי נקודת המקסימום. בנקודה זו ${\displaystyle y=200-100=100}$ ולכן הפתרון הסופי הוא שעל החוואי לתחום שטח שצורתו ריבוע עם צלעות שאורכן 100 מטרים. נשים לב שאין שטח קטן ביותר שניתן לתחום, כי תמיד ניתן לתחום שטח קרוב כרצוננו לאפס אם נקח מלבן שהוא רצועה צרה וארוכה.

ראו גם

• מצבתו של דיופנטוס