גשר בראוני

גשר בראוני הוא תהליך וינר ${\displaystyle W(t)}$ על קטע ${\displaystyle [0,1]}$ בהינתן ${\displaystyle W(1)=0}$.

גשר בראוני הוא תהליך סטוכסטי רציף ${\displaystyle B(t)}$ על קטע ${\displaystyle [0,1]}$ כך שלכל לכל ${\displaystyle t}$ בקטע יש לו התפלגות של תהליך וינר סטנדרטי ${\displaystyle W(t)}$ המותנית בכך ש- ${\displaystyle W(1)=0}$. כתוצאה מכך ${\displaystyle B(1)=0}$ ומתקיים גם ש-${\displaystyle B(0)=0}$ כמעט בוודאות.

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

נסמן באופן שקול:

${\displaystyle B(t):=(W(t)\mid W(1)=0),\;t\in [0,1]}$

התוחלת של הגשר בכל ${\displaystyle t}$ במרווח ${\displaystyle [0,1]}$ היא אפס והשונות היא ${\displaystyle t(1-t)}$. לכן, השונות הכי גדולה היא באמצע הקטע ושווה לאפס בקצוות. השונות המשותפת של ${\displaystyle B(s)}$ ו- ${\displaystyle B(t)}$ היא ${\displaystyle \min(s,t)-st}$. בניגוד לתהליך וינר, התהליך אינו קבוע בזמן ותוספות זרות בגשר בראוני אינן בלתי תלויות.^[1]

גשר בראוני הוא תוצאה של משפט דונסקר בתחום התהליכים אמפיריים (אנ'). הוא משמש גם במבחן קולמוגורוב-סמירנוב (אנ') בתחום ההסקה הסטטיסטית.

ייצוגים נוספים של גשר בראוני

אם ${\displaystyle W(t)}$ הוא תהליך וינר סטנדרטי אז התהליך:

${\displaystyle B(t)=W(t)-tW(1)}$

הוא גשר בראוני ומתקיימת אי-תלות בין ${\displaystyle B(t)}$ ו- ${\displaystyle W(t)}$.^[2]

באופן שקול, אם ${\displaystyle B(t)}$ הוא גשר בראוני ו- ${\displaystyle Z}$ הוא משתנה מקרי נורמלי סטנדרטי בלתי תלוי ב- ${\displaystyle B}$, אז התהליך

${\displaystyle W(t)=B(t)+tZ}$

הוא תהליך וינר.

ניתן לייצג גשר בראוני כטור פורייה עם מקדמים סטוכסטיים:

${\displaystyle B(t)=\sum _{k=1}^{\infty }Z_{k}{\frac {{\sqrt {2}}\sin(k\pi t)}{k\pi }}}$

כאשר ${\displaystyle Z_{1},Z_{2},\ldots }$ הם משתנים מקריים נורמליים סטנדרטיים בלתי תלויים ושווי התפלגות (ראו משפט קוסמבי-קרהונן-לואב (אנ')).

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא גשר בראוני בוויקישיתוף

הערות שוליים

1. 18.3: The Brownian Bridge, Statistics LibreTexts, ‏2020-05-05 (באנגלית)
2. Aspects of Brownian motion, Springer, 2008, R. Mansuy, M. Yor page 2