הקיטוב של הריק

בתורת השדות הקוונטית, ובפרט באלקטרודינמיקה קוונטית, הקיטוב של הריק (vacuum polarization) היא תופעה הנוצרת מכך שהריק הקוונטי איננו ריק, אלא מכיל אוסף של חלקיקים ואנטי-חלקיקים וירטואליים בעלי מטענים הפוכים; כאשר אין שדה חיצוני שמתקשר אל החלקיקים, לקיום הזוגות האלה אין משמעות בפועל, אולם כאשר קיים שדה חיצוני אליו החלקיקים מתקשרים, הקשר של החלקיקים והאנטי-חלקיקים לשדה הזה הוא הפוך, כך שאם החלקיקים ״נמשכים״ לשדה, האנטי חלקיקים ״נדחים״ ממנו. בכך נוצר מצב שבו פיזור המטענים של הזוגות אינו אחיד, והם משפיעים על השדה שמתקשר אליהם. תופעה זו היא הקיטוב של הריק.

הדגמה של הקיטוב של הריק על מדידת מטען האלקטרון. האלקטרון שבמרכז יוצר שדה אלקטרומגנטי שמקטב את הזוגות של החלקיקים הווירטואליים שנוצרים בריק. בגלל המיסוך שמבצעים הזוגות הווירטואליים, פוטון 1 שעובר קרוב לאלקטרון ימדוד מטען גבוה יותר מפוטון 2 שעובר רחוק מהאלקטרון.

הקיטוב מושפעת רק מהרנורמליזציה של שדה הכיול של נושאי הכוח, ולכן התופעה נקראת גם האנרגיה העצמית (self-energy) של בוזון הכיול, או במקרה של אלקטרודינמיקה קוונטית, האנרגיה-העצמית של הפוטון.

אחת התוצאות החשובות של הפולריזציה היא שהקשר בין חלקיקים לשדה כוח בוזוני מצומד להם עולה עם האנרגיה של נושא הכוח הבוזוני. בפרט, באלקטרודינמיקה קוונטית, המטען של האלקטרון (או כל חלקיק טעון אחר) כפי שהוא נמדד על ידי פוטונים בעלי אנרגיה גבוהה, גדול ממטען האלקטרון הנמדד שיימדד על ידי פוטונים עם אנרגיה נמוכה.

היסטוריה

ב-1929 הציג דיראק את המשוואה הקוונטית המתארת את תנועת האלקטרון. אחת התוצאות של משוואת דיראק היא קיומם של אינסוף רמות אנרגיה שליליות בהם יכולים להיות אלקטרונים. דיראק הסביר את קיומם של רמות אלה בכך שהן כולן מאוכלסות, אבל אי אפשר למדוד את האלקטרונים ברמות אלה. הדבר שניתן למדידה הוא חסרון של אלקטרון שמתנהג כמו חלקיק בעל מטען הפוך, חלקיק שהתגלה ניסויית ב-1932 כפוזיטרון. ב-1934 דיראק הראה שהתיאור שלו, הנקרא הים של דיראק, יכול לייצר תיאור מתמטי עקבי של אלקטרונים ופוזיטרונים. בסוף המאמר הוא העלה את האפשרות ליצירת קיטוב בריק, כתוצאה מאלקטרונים ופוזיטרונים בנוכחות של שדה חשמלי:

עבודה נוספת שנשאר לבצע היא לבחון את התוצאות הפיזיקליות של ההנחה שנעשתה, ולראות האם היא מובילה לתופעות מסוג של קיטוב של הריק כתוצאה משדה אלקטרומגנטי.

המקור באנגלית

Further work that remains to be done is to examine the physical consequences of the foregoing assumption and to see whether it leads to any phenomena of the nature of a polarization of a vacuum by an electromagnetic field.

— Discussion of the infinite distribution of electrons in the theory of the positron - P.A.M. Dirac

את התיאור של הפולריזציה ביצעו רוברט סרבר ואדווין אואלינג ב-1935. הם גילו שקיומה של הפולריזציה משנה את הפוטנציאל האפקטיבי בין שני מטענים אמיתיים, ובכך מייצרת הסחה של רמות האנרגיה עבור חלק מהמצבים הקוונטים.

בסוף שנות ה-40 של המאה ה-20, עם שיפורם של האמצעים הניסויים ודיוקם, בוצעו ניסויים למדידת הפרשי האנרגיה בין רמות שונות באטום המימן. ניסויים אלה גילו את קיומה של הסחת לם, שהוסברה על ידי הנס בתה כנובעת מאינטראקציה של האלקטרון עם הריק. ההסבר מסביר את רוב ההסחה שנמדדה, כ-${\displaystyle 4\mu eV}$, אולם חלק קטן בשיעור של כ-${\displaystyle 0.1\mu eV}$ מוסבר באמצעות הקיטוב של הריק. ובכך הושג אימות ניסיוני לתופעה.

פיתוחה של האלקטרודינמיקה הקוונטית בשנות ה-50, הובילה לפיתוח שיטות רגוליזציה ורנורמליזציה, הקיטוב של הריק מתגלה בתיאוריה זו באופן טבעי מהאינטראקציה בין חלקיקים בעלי מטען לחלקיקים בשדה הכיול שמתחבר אליהם.

ניסויים מדויקים בשנות ה-80 וה-90 הביאו לדיוק הולך וגובר במדידת השפעת הקיטוב של הריק, כולל מדידה של הקיטוב הנוצר מזוגות של מיואון ואנטי-מיואון ואף של קווארק ואנטי קווארק.

תיאור מתמטי

הרנורמליציה של האלקטרודינמיקה הקוונטית יכולה להתקבל משינוי של השדה הפרמיוני, המסה, שדה הכיול והאינטרקאציה ביניהם. כלומר את הלאגראנג׳יאן המקורי כותבים על ידי המשתנים ה״ערומים״ (bare variables)

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}(F_{\mu \nu }^{0})^{2}+{\bar {\psi }}_{0}(i\partial \!\!\!/-m_{0})\psi _{0}-e_{0}{\bar {\psi }}_{0}\gamma ^{\mu }\psi _{0}A_{0\mu }}$

כאשר ${\displaystyle m_{0}}$ ו-${\displaystyle e_{0}}$ יכולים לכלול איברים מתבדרים.

אופרטורי השדה בתיאור הזה הם אופורטורים שנוצרים מאופרטורי הריסה ובנייה על הריק של התיאוריה בלי האינטראקציה. כאשר אופרטורי השדה הללו פועלים על הריק של התיאוריה המלאה הכוללת אינטראקציu, הם מייצרים ״חלקיקים״ פיזיקליים בעלי מסה ${\displaystyle m}$ כמו גם מצבים מסובכים שכוללים יותר מחלקיק אחד. את אמפליטודת הסיכוי של אופרטור שדה לייצר חלקיק אחד בעל תנע ${\displaystyle p}$ מגדירים כ-${\displaystyle {\sqrt {Z_{i}}}}$^[1]. בשלב זה אפשר לבצע את שינויי הסקלה לשדות ${\displaystyle A_{0}=Z_{3}^{1/2}A;\ \psi _{0}=Z_{2}^{1/2}\psi }$ ולסמן את חוזק האינטראקציה בין השדות האלה בתיאוריה החדשה ב-${\displaystyle e}$. סימונים אלה מביאים את הלגראנז׳יאן לצורה:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}(F_{\mu \nu })^{2}+{\bar {\psi }}(i\partial \!\!\!/-m)\psi -e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }-{\frac {\delta _{3}}{4}}(F_{\mu \nu })^{2}+{\bar {\psi }}(i\delta _{2}\partial \!\!\!/-\delta _{m}m)\psi -e{\bar {\psi }}\delta _{1}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}$

כאשר החלק השמאלי הוא בעל אותה צורה של הלגרנז׳יאן המקורי בשדות החדשים שמייצרים חלקיק אחד בסיכוי כשהם פועלים על מצב עצמי בעל תנע ${\displaystyle p}$ של הלגראנז׳יאן המלא. והחלק הימני הוא איברי נגד, כשהגדרנו ${\displaystyle \delta _{i}=Z_{i}-1}$ ו-${\displaystyle \delta _{m}=Z_{2}m_{0}-m}$. המסה ${\displaystyle m}$ והאינטראקציה החשמלית ${\displaystyle e}$ הם המסה והאינטראקציה שתמדד בניסויים שמבוצעים באנרגיה נמוכה ואיברי הנגד יקבלו ערכים אינסופיים כדי לאזן את ההתבדרות האינסופית של הלגראנז׳יאן המקורי בכל אנרגיה. כלומר הערכים של ${\displaystyle \delta }$ ושל ${\displaystyle Z}$ נקבעים מהאופי של התיאוריה, ולא מקבלים סתם ערכים חופשיים.

קל לראות שאת איבר האינטראקציה בלגראנז׳יאן המקורי ניתן לכתוב גם כ-${\displaystyle e_{0}Z_{2}Z_{3}^{1/2}{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}$ וגם כ-${\displaystyle eZ_{1}{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}$. שתי הכתיבות של איבר האינטראקציה חייבות להיות שקולות ולכן מתקבל:${\displaystyle e={\frac {Z_{2}}{Z_{1}}}Z_{3}^{1/2}e_{0}}$. חישוב של איברי הנרמול, ושימוש בזהות וורד מראה ש-${\displaystyle Z_{2}=Z_{1}}$^[2], ולכן ${\displaystyle e=Z_{3}^{1/2}e_{0}}$ ולכן רק הנרמול של הפוטון משפיע על הנרמול של המטען.

כעת נגדיר את הפרופגטור של השדה (המנורמל ${\displaystyle A}$) שכולל את כל הדיאגרמות שאי אפשר לחלק לשתי דיאגרמות באמצעות חלוקה של קו אחד שנמצא בין צמתים להיות ${\displaystyle i\Pi ^{\mu \nu }(q)}$. מההגדרה ומזהות וורד נובע ש-${\displaystyle \Pi ^{\mu \nu }(q)=\Pi (q^{2})(q^{2}g^{\mu \nu }-q^{\mu }q^{\nu })}$^[3]. הפרופגטור הכללי שכולל גם דיאגרמות שניתנות לחלוקה הוא: ${\displaystyle {\frac {-i}{q^{2}(1-\Pi (q^{2}))}}\left(g^{\mu \nu }-{\frac {q^{\mu }q^{\nu }}{q^{2}}}\right)+{\frac {-i}{q^{2}}}{\frac {q^{\mu }q^{\nu }}{q^{2}}}}$. באמצעות קביעה נכונה של הערך של איבר הנגד ${\displaystyle \delta _{3}={\frac {\Pi (0)}{1-\Pi (0)}}}$. ניתן לקבל שבתיאוריה שכוללת את איברי הנגד מתקיים ${\displaystyle {\hat {\Pi }}(q^{2}\to 0)=0}$. מטען האלקטרון בסקלה החדשה מקיים: ${\displaystyle e_{0}^{2}={\frac {e^{2}}{1-[\Pi (q^{2})-\Pi (0)]}}}$.

דיאגרמת פיינמן של לולאה מסדר ראשון בפרופגטור של הפוטון. הקיטוב של הריק מופיע כתוצאה מהרנורמליזציה של האנרגיה העצמית של הפוטון.

הסדר הראשון של התיקון לפרופוגטור מוצג בדיאגרמה משמאל וחישובה לאחר רגולזציה מרחבית ואיזון נותן:

${\displaystyle \Pi _{2}^{\mu \nu }(q)=(q^{2}g^{\mu \nu }-q^{\mu }q^{\nu })\Pi _{2}(q^{2})}$ כאשר ${\displaystyle \Pi _{2}(q^{2})=-{\frac {8e^{2}}{(4\pi )^{d/2}}}\int _{0}^{1}dx{\frac {\Gamma (2/d)x(1-x)}{(m^{2}-x(1-x)q^{2})^{2-d/2}}}}$. כאשר מחשבים את האינטגרל הזה בגבול ${\displaystyle d=4-\epsilon ;\epsilon \to 0}$ מתקבל איבר שתלוי ב-${\displaystyle \epsilon }$. אולם כאשר קובעים את תנאי הרנורמליזציה מתקיים ${\displaystyle \Pi _{2}(q^{2})-\Pi _{2}(0)=-{\frac {2\alpha }{\pi }}\int _{0}^{1}dxx(1-x)\log \left({\frac {m^{2}}{m^{2}-x(1-x)q^{2}}}\right)}$. תוצאה שלא תלויה ב-${\displaystyle \epsilon }$. בסדר זה, התיקון למטען האלקטרון הוא: ${\displaystyle e_{0}^{2}=e^{2}(1+[\Pi (q^{2})-\Pi (0)])}$.

השפעות

הקיטוב של הריק משפיע על מטען האלקטרון הנמדד, לעומת מטען האלקטרון ה״ערום״ המופיע בתיאוריה המקורית. המטען הערום הוא אין סופי, אבל המטען שנמדד באנרגיות נמוכות הוא המטען הפיזיקלי הסופי ${\displaystyle e}$. את המטען באנרגיות סופיות ניתן לקבל באמצעות חבורת הרנורמליזציה. בסדר מוביל מתקבל ${\displaystyle e^{2}(M)={\frac {e^{2}(\Lambda )}{1+e^{2}(\Lambda )/8\pi ^{2}\log(\Lambda /M)b}}}$ או ${\displaystyle e^{2}(\Lambda )={\frac {e^{2}(M)}{1-{\frac {e^{2}(M)b}{8\pi ^{2}}}\log(\Lambda /M)}}}$. כאשר ${\displaystyle b={\frac {4}{3}}\sum q_{i}^{2}}$ כשהסכימה מתבצעית עבור כל פרמיון עבורו ${\displaystyle M>m^{2}}$. באנרגיות נמוכות ממסת האלקטרון 511KeV מתקבל ש- ${\displaystyle b=0}$ והאינטראקציה של האלקטרון עם השדה היא קבועה. אולם באנרגיות גבוהות יותר ${\displaystyle \Lambda =-q^{2}>>m^{2}}$, חוזק האינטראקציה תלוי באנרגיה. בתחום בו האנרגיה גדולה בהרבה ממסת האלקטרון אבל עדיין קטנה ממסת המיואון מתקבל ${\displaystyle e^{2}(\Lambda )={\frac {e^{2}}{1-{\frac {e^{2}}{12\pi ^{2}}}\left(\log(\Lambda /m^{2})+5/3\right)}}}$.

השפעה נוספת היא תיקון לאינטראקציה החשמלית בין שני חלקיקים. את הסדר הראשון של התיקון הזה ניתן לקבל מ-${\displaystyle \Pi _{2}}$. במרחקים גדולים (ביחס לאורך קומפטון של האלקטרון) מתקיים ${\displaystyle V(r)=-{\frac {\alpha }{r}}\left(1+{\frac {\alpha }{4{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-2mr}}{mr^{3/2}}}\right)}$ התיקון הזה גורם להסחה של ${\displaystyle {\frac {\alpha ^{5}m}{30\pi }}}$ ברמת האנרגיה של אורביטלי S באטום המימן והוא מהווה חלק קטן (כ-2%) מהסחת לם.

הערות שוליים

1. אינדקסים שונים עבור השדות השונים בתיאוריה. נהוג להשתמש ב-${\displaystyle Z_{2}}$ עבור השדה הפרמיוני וב${\displaystyle Z_{3}}$ עבור השדה הווקטורי.
2. זהותית, בכל סדר של תורת ההפרעות
3. בשימוש בסימון ${\displaystyle q^{2}=q^{\mu }q_{\mu }=E_{q}^{2}-{\vec {q}}^{2}}$ בפרט ${\displaystyle q^{2}}$ שווה לאפס עבור פוטונים על הקליפה אבל יכול להיות שלילי או חיובי עבור חלקיקים וירטואליים.