זהות הואה

באלגברה, זהות הואה^[1] (על שם הואה לואונג) הקובעת כי לכל זוג איברים ${\displaystyle a,b}$ בחוג עם חילוק, מקיימים את המשוואה:

${\displaystyle a-\left(a^{-1}+(b^{-1}-a)^{-1}\right)^{-1}=aba}$

כאשר ${\displaystyle ab\neq 0,1}$. על ידי החלפת ${\displaystyle b}$ ב-${\displaystyle -b^{-1}}$, ניתן לקבל משוואה שקולה:

${\displaystyle (a+ab^{-1}a)^{-1}+(a+b)^{-1}=a^{-1}}$

משפט הואה

הזהות משמשת בהוכחה למשפט הואה^[2][3], הקובעת שאם ${\displaystyle \sigma }$ היא פונקציה בין חוגים עם חילוק, כאשר

$${\displaystyle \sigma (a+b)=\sigma (a)+\sigma (b),\quad \sigma (1)=1,\quad \sigma (a^{-1})=\sigma (a)^{-1}}$$

אז ${\displaystyle \sigma }$ היא הומומורפיזם או אנטי-הומומורפיזם. משפט זה קשור למשפט היסודי של גאומטריה פרויקטיבית.

הוכחת הזהות

הזהות הבאה נכונה בכל חוג, כל עוד ${\displaystyle a,b,ab-1}$ כולם איברים הפיכים:

${\displaystyle (a-aba)\left(a^{-1}+(b^{-1}-a)^{-1}\right)=1-ab+ab(b^{-1}-a)(b^{-1}-a)^{-1}=1}$

קישורים חיצוניים

1. Cohn 2003, §9.1
2. Cohn 2003, Theorem 9.1.3
3. "Is this map of domains a Jordan homomorphism?". math.stackexchange.com. נבדק ב-2016-06-28.

• Cohn, Paul M. (2003). Further algebra and applications (Revised ed. of Algebra, 2nd ed.). London: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-667-6. Zbl 1006.00001.
• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1. OCLC 294885194.

ערך זה הוא יתום, כלומר אין ערכים בוויקיפדיה שמקשרים אליו. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולקשר אליו מכמה מהערכים שמכילים את המונח "זהות הואה".