זהות קפלי

בתורת החוגים, זהות קפלי היא הזהות ${\displaystyle c_{n}=0}$, כאשר ${\displaystyle c_{n}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )x_{\sigma (1)}y_{1}x_{\sigma (2)}y_{2}\cdots x_{\sigma (n)}y_{n}}$ הוא פולינום קפלי ב-${\displaystyle 2n}$ משתנים. כל אלגברה מממד קטן מ-${\displaystyle n}$ מקיימת את הזהות ${\displaystyle c_{n}=0}$. התפקיד המרכזי של זהויות קפלי בתורת החוגים עם זהויות ("חוגי-PI") נובע מכך שכל אלגברת PI אפינית מקיימת זהות קפלי כלשהי; ובנוכחות זהות קפלי ${\displaystyle c_{n}=0}$, כל זהות שקולה למסקנות שלה בפחות מ-${\displaystyle n}$ משתנים^[1].

הזהות ${\displaystyle c_{n}=0}$ נובעת מן הזהות ${\displaystyle c_{n-1}=0}$, כך שהתנאי ${\displaystyle c_{n}=0}$ הולך ונעשה חלש כאשר ${\displaystyle n}$ גדל. באלגברה עם יחידה ${\displaystyle c_{1}\neq 0}$, ו-${\displaystyle c_{2}=0}$ אם ורק אם האלגברה קומוטטיבית. פולינום ${\displaystyle f}$ נקרא ${\displaystyle n}$-מתחלף אם לכל ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ מתקיים ${\displaystyle f(...,x_{i},...,x_{j},...)=-f(...,x_{j},...,x_{i},...)}$. פולינום קפלי ה-${\displaystyle n}$-י הוא ${\displaystyle n}$-מתחלף; וכזהות, הוא הפולינום ה-${\displaystyle n}$-מתחלף הכללי ביותר: ${\displaystyle c_{n}=0}$ היא זהות של האלגברה ${\displaystyle A}$, אם ורק אם כל פולינום ${\displaystyle n}$-מתחלף הוא זהות של ${\displaystyle A}$. לדוגמה, את הזהות הסטנדרטית ${\displaystyle s_{n}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )x_{\sigma (1)}\cdots x_{\sigma (n)}}$ אפשר להסיק מהזהות ${\displaystyle c_{n}}$ על ידי ההצבה ${\displaystyle y_{i}\mapsto 1}$ (והיא אכן n-מתחלפת). אלגברת המטריצות ${\displaystyle M_{n}(F)}$ (מעל שדה ${\displaystyle F}$) מקיימת את זהות קפלי ${\displaystyle c_{n^{2}+1}}$, אבל לא את הזהות ${\displaystyle c_{n^{2}}}$. האלגברה ${\displaystyle M_{n}(R)}$ מקיימת את ${\displaystyle c_{n^{2}+1}}$ אם ורק אם ${\displaystyle R}$ קומוטטיבי.

אם ${\displaystyle A}$ אלגברה מעל שדה ${\displaystyle F}$ ממאפיין 0, אפשר ללמוד את תורת ההצגות שלה בעזרת מרחב הקו-קרקטרים ${\displaystyle \ \chi _{n}(A)=V_{n}/(V_{n}\cap \operatorname {id} (A))}$ (כאשר ${\displaystyle \ V_{n}}$ הוא מרחב הפולינומים המולטילינאריים במשתנים ${\displaystyle \ x_{1},\dots ,x_{n}}$), שהם מודולים מעל החבורות הסימטריות ${\displaystyle \ S_{n}}$ על ידי פעולת ההצבה. תורת ההצגות של החבורה הסימטרית ממיינת את ההצגות האי-פריקות האלה, ומאפשרת להוכיח את המשפט הבא: אלגברה ${\displaystyle A}$ מקיימת את זהות קפלי ${\displaystyle c_{m}}$ אם ורק אם דיאגרמת יאנג של כל תת-הצגה אי-פריקה של ${\displaystyle \ \chi _{n}(A)}$ היא בעלת פחות מ-m שורות.

קמר הוכיח שבמאפיין חיובי, כל אלגברת-PI מקיימת זהות קפלי. הוא הראה גם שבמאפיין 0, כל אלגברת-PI אפינית מקיימת זהות כזו. אלגברת גרסמן היא דוגמה לאלגברה לא אפינית, במאפיין 0, שאינה מקיימת אף זהות קפלי. במאפיין 0, לכל ${\displaystyle n}$ קיימת זהות קפלי ${\displaystyle c_{m}}$ הנובעת מן הזהות הסטנדרטית ${\displaystyle s_{n}}$.

אלגברה אפינית מעל שדה מקיימת זהות קפלי (כלשהי) אם ורק אם הרדיקל שלה הוא נילפוטנטי. עובדה זו מוליכה לאחד המשפטים החשובים בתורת הזהויות, משפט רזמיסלוב-קמר-בראון, שלפיו הרדיקל של כל אלגברת-PI אפינית הוא נילפוטנטי.

הערות שוליים

1. Belov and Rowen, Computational Aspects of PIs, Theorem 6.8.2