זווית הקבלה

אם הזווית B ישרה והקווים Aa ו-Bb הם מקבילים גבוליים (limiting parallels), אז הזווית בין Aa ל-AB היא זווית ההקבלה.

בגאומטריה היפרבולית, זווית ההקבלה (באנגלית: Angle of parallelism), שסימונה המקובל הוא ${\displaystyle \Pi (a)}$, היא הזווית בקודקוד אחד של משולש היפרבולי ישר-זווית ששתיים מצלעותיו הן מקבילים אסימפטוטיים. זווית זו תלויה באורך המקטע a שמחבר את הקודקוד של הזווית הישרה עם הקודקוד של זווית ההקבלה.

בהינתן נקודה מחוץ לישר, אם מורידים אנך לישר מהנקודה, אז a הוא המרחק לאורך המקטע האנכי הזה, ו-φ או ${\displaystyle \Pi (a)}$ היא הזווית הקטנה ביותר בה הקו המשורטט מהקודקוד בזווית הזו אינו חותך את הישר הנתון. מכיוון ששתיים מצלעות המשולש הן מקבילים אסימפטוטיים, מתקיים:

${\displaystyle \lim _{a\to 0}\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\pi \quad {\text{ and }}\quad \lim _{a\to \infty }\Pi (a)=0.}$

ישנם חמישה ביטויים מתמטיים שקולים שקושרים את ${\displaystyle \Pi (a)}$ עם a:

${\displaystyle \sin \Pi (a)=\operatorname {sech} a={\frac {1}{\cosh a}}={\frac {2}{e^{a}+e^{-a}}}\ ,}$

${\displaystyle \cos \Pi (a)=\tanh a={\frac {e^{a}-e^{-a}}{e^{a}+e^{-a}}}\ ,}$

${\displaystyle \tan \Pi (a)=\operatorname {csch} a={\frac {1}{\sinh a}}={\frac {2}{e^{a}-e^{-a}}}\ ,}$

${\displaystyle \tan \left({\tfrac {1}{2}}\Pi (a)\right)=e^{-a},}$

${\displaystyle \Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {gd} (a),}$

כאשר sinh, cosh, tanh, ו-sech הן פונקציות היפרבוליות ו-gd היא פונקציית גודרמניאן.

היסטוריה

המונח זווית ההקבלה והנוסחאות המקושרות אליו הוצג ופותח בהרחבה ב-1840 בחיבור "חקירות גאומטריות על התאוריה של קווים מקבילים"^[1] של המתמטיקאי ניקולאי לובצ'בסקי, ממגלי הגאומטריה הלא-אוקלידית. יאנוש בולאי גילה בנייה גאומטרית אלגנטית ממנה ניתן לגזור את הנוסחה לזווית ההקבלה.

קרל פרידריך גאוס הציג בכתב לא מפורסם קצר "התאוריה של קווים מקבילים" הגדרה זהה; הוא הגדיר ישר מקביל גבולי דרך נקודה מחוץ לישר נתון כחתך^[2] בין הישרים שפוגשים את הישר הנתון לישרים שלא פוגשים אותו. באותו חיבור הוא הוכיח גם^[3] כי יחס ההקבלה הוא יחס שקילות מעל אוסף הישרים ההיפרבוליים - הווה אומר שהוא חילופי (סימטרית) וטרנזיטיבי. עובדות אלו הן טריוויאליות בגאומטריה אוקלידית, אולם מצריכות הוכחה דקדקנית בגאומטריה אחרת; פרטי ההוכחה טריקיים מאוד, ועשו שימוש ברעיונות המאוחרים יותר של מוריץ פש (Pasch).

קישורים חיצוניים

• זווית הקבלה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. Nicholaus Lobatschewsky (1840) G.B. Halsted translator (1891) Geometrical Researches on the Theory of Parallels, link from Google Books
2. ,GAUSS AS A GEOMETER BY H, S, M, COXETER. [1]
3. Note on Gauss' Proof of the Reciprocity of Parallelism [2]