חסם הופדינג

בתורת ההסתברות, חסם הופדינג, על שמו של וסילי הופדינג (Hoeffding), הוא חסם עליון על ההסתברות שממוצע של משתנים מקריים יהיה רחוק מהתוחלת שלו.

חסם הופדינג הוא תוצאה של אי שוויון ברנשטיין.

הגדרה פורמלית

יהיו ${\displaystyle X_{1}\dots X_{n}}$ משתנים מקריים בלתי תלויים. ${\displaystyle X_{i}\in [a_{i},b_{i}]}$ בהסתברות 1. אזי הממוצע שלהם ${\displaystyle {\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ מקיים לכל t חיובי את האי-שוויונות הבאים (Hoeffding 1963):

$${\displaystyle \Pr(|{\bar {X}}_{n}-\mathrm {E} [{\bar {X}}_{n}]|\geq t)\leq 2\exp \left(-{\frac {2n^{2}t^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})^{2}}}\right)\!}$$

הכללה עבור משתנים מקריים תת-גאוסיים

ניתן להכליל את חסם הופדינג עבור סכום של משתנים מקריים בעלי התפלגות תת-גאוסית. עבור ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ משתנים מקריים תת-גאוסיים, בלתי תלויים, עם תוחלת אפס,

${\displaystyle \mathrm {P} \left(\left|\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right|\geq t\right)\leq 2\exp \left(-{\frac {ct^{2}}{\sum _{i=1}^{n}\Vert X_{i}\Vert _{\psi _{2}}^{2}}}\right)}$,

כאשר c הוא קבוע ו ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{\psi _{2}}^{2}}$ היא הנורמה התת-גאוסית^[1].

שימושים

משמעות החסם היא שההסתברות שמדגם כלשהו מתוך הסתברות, לא יהיה "מדגם מייצג", קטנה באופן מעריכי בגודל המדגם. לחסם זה חשיבות רבה בתחום של למידת מכונה, מכיוון שהוא נותן אינדיקציה לגבי גודל המדגם שדרוש כדי ללמוד על התפלגות.

ראו גם

• אי-שוויון צ'בישב
• אי-שוויון צ'רנוף

לקריאה נוספת

• Hoeffding, Wassily (1963). "Probability inequalities for sums of bounded random variables". Journal of the American Statistical Association. 58 (301): 13–30. doi:10.1080/01621459.1963.10500830. JSTOR 2282952. MR 0144363.

הערות שוליים

1. Vershynin, Roman (2018). High-Dimensional Probability. Cambridge University Press. ISBN 9781108415194.