יריעה אלגברית אפינית

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, ובמיוחד בגאומטריה אלגברית, יריעה אלגברית אָפִינית היא קבוצת האפסים המשותפים של אוסף פולינומים נתון. יריעות אלגבריות אפיניות הן אבני הבניין מהן נבנות יריעות אלגבריות שמהוות אובייקט מרכזי הנחקר במסגרת הגאומטריה האלגברית הקלאסית.

הגדרה פורמלית

נניח כי k הוא שדה סגור אלגברית, ונסמן ב${\displaystyle \,\mathbb {A} ^{n}}$ את המרחב האפיני ה-n-ממדי - אוסף ה-nיות של איברים מ-k, כלומר ${\displaystyle \,k^{n}}$. ניתן לראות באיבר f בחוג הפולינומים ב-n משתנים ${\displaystyle \,k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ פונקציה ${\displaystyle f:\,\mathbb {A} ^{n}\rightarrow k}$. בהינתן תת-קבוצה ${\displaystyle \,S\subset k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$, נגדיר את אוסף האפסים המשותפים של S על ידי: $${\displaystyle \,{\mathcal {V}}(S)=Z(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}:\forall f\in S,f(x)=0\}}$$ תת קבוצה V של ${\displaystyle \,\mathbb {A} ^{n}}$ תקרא יריעה אלגברית אפינית אם ${\displaystyle \,V=Z(S)}$ עבור קבוצה ${\displaystyle \,S\subseteq k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ כלשהי.

יריעות אי-פריקות

יריעה אלגברית אפינית שאינה ריקה V תקרא אי-פריקה אם לא ניתן להציגה כאיחוד של שתי יריעות אלגבריות אפיניות לא ריקות שונות. בעבר היה נהוג להשתמש בשם יריעה רק עבור יריעות אי-פריקות. טרמינולוגיה זאת עדיין נמצאת בשימוש במקורות מסוימים. כאשר משתמשים בה, נהוג לקרוא ליריעות אלגבריות שאינן בהכרח אי-פריקות "קבוצות אלגבריות".

טופולוגית זריצקי

על יריעות אפיניות ניתן להגדיר טופולוגיה (הנקראת טופולוגית זריצקי) בצורה טבעית על ידי כך שמכריזים על כל הקבוצות האלגבריות להיות קבוצות הסגורות.

בהינתן תת-קבוצה V של ${\displaystyle \,\mathbb {A} ^{n}}$, נגדיר את הקבוצה (I(V להיות אוסף כל הפולינומים המתאפסים בכל V, כלומר: $${\displaystyle \,{\mathcal {I}}(V)=\{f\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]:\forall x\in V,f(x)=0\}}$$ זהו אידיאל בחוג ${\displaystyle \,k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$.

V סגורה אם ורק אם $${\displaystyle V={\mathcal {V}}({\mathcal {I}}(V))}$$

חוג הקואורדינטות והממד של יריעה

ניתן להראות כי קבוצה אלגברית אפינית V היא אי פריקה אם ורק אם (I(V הוא אידיאל ראשוני. עבור יריעה אלגברית אפינית V, לחוג המנה ${\displaystyle \,k[x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathcal {I}}(V)}$ קוראים חוג הקואורדינטות של V. מאחר שבמקרה זה (I(V הוא אידיאל ראשוני, הרי שחוג הקואורדינטות של V הוא תחום שלמות. הממד של יריעה אלגברית V מוגדר להיות ממד קרול של חוג הקואורדינטות של V. הממד של המרחב האפיני ה-n ממדי (כלומר של ${\displaystyle \,\mathbb {A} ^{n}}$) הוא בדיוק n. מכיוון שעבור זוג פולינומים ${\displaystyle \,f,g\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ מתקיים כי ${\displaystyle \,f-g\in {\mathcal {I}}(V)}$ אם ורק אם לכל ${\displaystyle \,x\in V}$ מתקיים ${\displaystyle \,f(x)=g(x)}$, הרי שניתן לראות באיברי חוג הקואורדינטות של V פונקציות המוגדרות על V.

מורפיזמים של יריעות אלגבריות

מורפיזם בין שתי יריעות אלגבריות ${\displaystyle X\subset \mathbb {A} ^{n}}$ ו ${\displaystyle Y\subset \mathbb {A} ^{m}}$ הוא העתקה פולינומית בין המרחבים האפינים ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ו ${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$ (זאת אומרת ${\displaystyle m}$ פולינומים ב ${\displaystyle n}$ משתנים) שמעבירה את ${\displaystyle X}$ ל-${\displaystyle Y}$.

יריעות אלגבריות X ו-Y נקראות איזומורפיות אם קיימים מורפיזימים ${\displaystyle f:X\to Y}$ ו-${\displaystyle g:Y\to X}$ כך ש-${\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} _{X}}$ ו-${\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{Y}}$, כלומר: הרכבתם מניבה את מורפיזם הזהות על כל יריעה בהתאמה. באופן דומה, אם קיימות קבוצות פתוחות לא ריקות ${\displaystyle U\subseteq X}$ ו${\displaystyle V\subseteq Y}$ ומורפיזמים ${\displaystyle f:U\to V,g:V\to U}$ כך ש ${\displaystyle f\circ g=1_{V},g\circ f=1_{U}}$ אז היריעות X ו-Y נקראות שקולות בי-רציונלית.

ראו גם

• ספקטרום (גאומטריה אלגברית)
• משפט האפסים של הילברט
• יריעה קוואזי-פרויקטיבית
  • יריעה אלגברית פרויקטיבית
  • יריעה קוואזי-אפינית
• יריעה פרידה
  • יריעה שלמה
• יריעה טורית

לקריאה נוספת

• G. Kempf, Algebraic Varieties. Cambridge University Press, 1993
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, vol. 52, Springer-Verlag ,New York, Graduate Texts in Mathematics, ISBN 978-0-387-90244-9
• Milne, Algebraic geometry

קישורים חיצוניים

• יריעה אלגברית אפינית, באתר MathWorld (באנגלית)

עץ מיון של יריעות אלגבריות

יריעה אלגברית יריעה אלגברית                                               יריעה פרידה יריעה פרידה יריעה קשירה יריעה קשירה יריעה שוות ממד יריעה שוות ממד יריעת כהן-מקולי יריעת כהן-מקולי יריעה נורמלית יריעה נורמלית יריעה ${\displaystyle \mathbb {Q} }$- גורנשטיין[1] יריעה ${\displaystyle \mathbb {Q} }$- גורנשטיין[1]                                                   יריעה קוואזי-גורנשטיין[2] יריעה קוואזי-גורנשטיין[2] סינגולריות לוג קנונית סינגולריות לוג קנונית   יריעת טיפוס כללי[3] יריעת טיפוס כללי[3]                                               יריעה שלמה יריעה שלמה יריעה קוואזי-פרויקטיבית יריעה קוואזי-פרויקטיבית יריעה בלתי פריקה יריעה בלתי פריקה עקום עקום   יריעה טורואידלית יריעה טורואידלית סינגולריות רציונלית סינגולריות רציונלית יריעת גורנשטיין יריעת גורנשטיין ${\displaystyle \,\cap }$ סינגולריות לוג טרמינלית סינגולריות לוג טרמינלית   יריעת קאלבי-יאו[3] יריעת קאלבי-יאו[3]                                               סינגולריות גורנשטיין רציונלית ${\displaystyle \Updownarrow }$ סינגולריות גורנשטיין קנונית ${\displaystyle \Updownarrow }$ סינגולריות גורנשטיין לוג טרמינלית סינגולריות גורנשטיין רציונלית ${\displaystyle \Updownarrow }$ סינגולריות גורנשטיין קנונית ${\displaystyle \Updownarrow }$ סינגולריות גורנשטיין לוג טרמינלית ${\displaystyle \,\cap }$             יריעה פרויקטיבית יריעה פרויקטיבית ${\displaystyle \,\cap }$ יריעה קוואזי-אפינית יריעה קוואזי-אפינית יריעה רציונלית יריעה רציונלית   משטח משטח   סינגולריות חיתוך מלא סינגולריות חיתוך מלא סינגולריות קנונית סינגולריות קנונית   יריעת פאנו[3] יריעת פאנו[3]                                                                         יריעה אפינית יריעה אפינית יריעה טורית יריעה טורית   סינגולריות דו-ואל סינגולריות דו-ואל ${\displaystyle \,\cap }$           סינגולריות טרמינלית סינגולריות טרמינלית                   יריעה חלקה יריעה חלקה                                                                                                     מקרא   מחלקה של יריעות אלגבריות[4]   תכונה מקומית של ירעות אלגבריות (או מחלקה שמוגדרת על ידי תכונה מקומית).[4]   מסלול שיורד למטה מצביע על כך שהמחלקה התחתונה היא חלק מהמחלקה העליונה. ${\displaystyle \cap }$ מחלקה המהווה חיתוך של המחלקות שמכילות אותה ומופיעות בתרשים.   דוגמה או קבוצת דוגמאות ליריעות אלגבריות.[4]   חלק במסלול שרלוונטי רק לדוגמאות.                             עקום אליפטי עקום אליפטי ${\displaystyle \,\cap }$         מרחב אפיני מרחב אפיני                           מרחב פרויקטיבי מרחב פרויקטיבי                                                                 בהקשרים מסוימים דורשים מיריעה ${\displaystyle \mathbb {Q} }$- גורנשטיין להיות נורמלית ו/או כהן-מקולי. כאן אנו לא דורשים אף אחת מתכונות אלה. בהקשרים מסוימים דורשים מיריעה קוואזי- גורנשטיין להיות נורמלית, כאן אנו לא דורשים זאת. כאן אנו מתייחסים להגדרה המכילה שלא דורשת חלקות או שלמות אלא רק תכונות ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-גורנשטיין. שמות התואר "אלגברית"/אלגברי מושמטים בדרך כלל משם המחלקה. העץ מכיל בעיקר מחלקות של סכמות ללא גרסה יחסית מובהקת. ככלל בגאומטריה אלגברית עיקר העיסוק בהעתקות בין סכמות מתרכז בסכמות מיוצגות סופית. העץ מכיל את המחלקות הרחבות של העתקות בין סכמות, שכוללת את כל ההעתקות המיוצגות סופית.