מדד הכוח של שפלי ושוביק

בתורת המשחקים, ערך שפלי משמש כמדד למידת ההשפעה של כל חבר על תהליך קבלת ההחלטות במשחק שיתופי.

מדד זה נקרא מדד הכח של שפלי ושוביק והוא פותח על ידי שפלי ושוביק בשנת 1954.

במשחק שיתופי נתונה קבוצה של שחקנים, ופונקציית תועלת שקובעת את השווי במשחק של כל תת-קבוצה של השחקנים (קואליציה). משמעות השווי של קואליציית שחקנים היא התועלת של הקואליציה במשחק, אם שחקני הקואליציה יחליטו להתאגד כדי לשתף פעולה. הבעיה היא למצוא חלוקה הוגנת של הזכייה בין כל השותפים, שתתחשב בכח המיקוח של כל שותף ושותף, שנובע מהתרומה שלו לכל קואליציה.

הגדרת מדד הכוח

מדד הכוח של שפלי ושוביק הוא פונקציה המתאימה לכל משחק פשוט את ערך שפלי שלו. משחק פשוט הוא סוג של משחק שיתופי בצורה קואליציונית ${\displaystyle \left(N;v\right)}$ בו שוויה של קואליציה הוא או 1 (קואליציה מנצחת) או 0 (קואליציה מפסידה). משחק ${\displaystyle \left(N;v\right)}$ ייקרא מונוטוני אם לכל שתי קואליציות S ו- T, המקיימות ${\displaystyle S\subset T}$, מתקיים ${\displaystyle v(S)\leq v(T)}$

כעת, עבור משחק פשוט ומונוטוני ${\displaystyle \left(N;v\right)}$, ועבור שחקן ${\displaystyle i}$ כלשהו ניתן לחשב את ערך שפלי: השווי של כל קואליציה הוא 0 או 1 ובהתאם תרומתו של כל שחקן לשווי הקואליציה יכול להיות 0 או 1.

תרומת שחקן ${\displaystyle i}$ לקואליציה היא 0: כאשר S קואליציה מנצחת ולכן קואליציה S יחד עם שחקן ${\displaystyle i}$ מכילה את קואליציה S . ממונוטוניות נובע שהיא קואליציה מנצחת גם כן.

מקרה נוסף הוא כאשר קואליציה S יחד עם שחקן ${\displaystyle i}$ היא קואליציה מפסידה ולכן ממונוטוניות נובע שכל תת-קואליציה של קואליציה מפסידה היא מפסידה ולכן קואליציה S מפסידה גם היא.

תרומת שחקן ${\displaystyle i}$ לקואליציה היא 1: כאשר S קואליציה מפסידה וכאשר שחקן ${\displaystyle i}$ מצטרף אליה היא הופכת למנצחת.

כלומר, הביטוי ${\displaystyle (v\left(S\cup \{i\}\right)-v\left(S\right))}$ מהנוסחה השקולה לחישוב ערך שפלי, המייצג את תרומת שחקן ${\displaystyle i}$ לקואליציה, מקבל את הערכים 0 או 1 .

לכן הנוסחה השקולה לחישוב ערך שפלי הופכת לפשוטה:

${\displaystyle \psi (v,i)={\frac {1}{|N|!}}\sum _{S\subseteq N}|S|!\cdot \left(|N|-|S|-1\right)!}$

כאשר בסכימה עוברים על כל הקואליציות המפסידות S שהוספת השחקן ${\displaystyle i}$ הופכת אותן למנצחות.

משמעות

הבוחרים בתהליך קבלת ההחלטות יכולים להיות מוצגים כשחקנים במשחק פשוט ומונוטוני עם N שחקנים, כאשר שחקנים עם העדפות זהות יוצרים קואליציה. שווי קואליציה יהיה 1 כאשר חברי הקואליציה הם אלה שמכריעים את תוצאת המשחק ללא קשר לבחירתם של השחקנים מחוץ לקואליציה, קואליציה כזו תקרא "מנצחת" . בדומה, שווי קואליציה יהיה 0 כאשר חברי הקואליציה לא יכולים להשפיע אפילו לא במעט על תוצאת המשחק. קואליציה כזו תקרא מפסידה. בהתבסס על ערך שפלי, הסיקו שפלי ושוביק שכוחן של קואליציות לא בהכרח פרופורצינליות לגודלן. כוחה של קואליציה או כוחו של שחקן נמדדים על פי מספר הפעמים בהן השחקן או הקואליציה הם אלה המשפיעים על תוצאת המשחק.

כאשר רוצים לקבל החלטה בנושא מסוים נסדר את כל מקבלי ההחלטות (שחקנים) מימין לשמאל לפי מידת תמיכתם בעניין. הימני ביותר יעמוד התומך ביותר ברעיון והשמאלי ביותר יעמוד המתנגד הקיצוני ביותר. ביניהם יעמדו כל שאר מקבלי ההחלטות לפי מידת הסכמתם. לאחר שנסדר את כל המצביעים לפי הסדר ישנו שחקן מסוים שאם יצביע בעד, גם כל השחקנים שעמדו מימינו יצביעו בעד מכיוון שהם הרבה יותר תומכים ממנו וההצעה תתקבל. אם שחקן זה יצביע נגד אז כל השחקנים משמאלו יצביעו גם הם נגד מכיוון שהם הרבה פחות מסכימים ממנו ולכן ההצעה לא תתקבל. כלומר שחקן זה הוא בעצם זה שמכריע את הכף ומכאן כוחו.

כאשר יש צורך להכריע במספר נושאים מדד הכוח של שפלי ושוביק של שחקן מסוים הוא בעצם ההסתברות שהשחקן יהיה השחקן שמכריע את הכף. ככל שההסתברות של השחקן גבוהה יותר להיות שחקן כזה זה מעיד על כוח והשפעה גדולים יותר על קבלת ההחלטות.

דוגמה לשימוש במדד הכוח

בניית קואליציה בפרלמנט

ראו גם

• ערך שפלי
• ערך בנזף
• גרעינון
• תורת המשחקים - מונחים

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946