מודול ארטיני

באלגברה מופשטת, מודול ארטיני הוא מודול ${\displaystyle M}$ המקיים את תנאי השרשרת היורדת (DCC) על תת-המודולים שלו, ביחס לסדר ההכלה. התכונה נקראת על שם אמיל ארטין.

תכונות

בדומה למודולים נותרים:

• חוג מוגדר כחוג ארטיני אם הוא ארטיני כמודול (שמאלי) מעל עצמו. מעל חוג ארטיני, כל מודול נוצר סופית הוא מודול ארטיני.

• לכל תת-מודול ${\displaystyle K}$ של מודול ${\displaystyle M}$, המודול ${\displaystyle M}$ ארטיני אם ורק אם ${\displaystyle K}$ ו-${\displaystyle M/K}$ ארטינים.

לפי משפט הופקינס-לויצקי, כל חוג ארטיני הוא גם נותרי. מכיוון שמודולים נוצרים סופית מעל חוג נותרי הם נותרים, אז עבור חוג ארטיני ${\displaystyle R}$, כל מודול נוצר סופית מעל ${\displaystyle R}$ הוא גם ארטיני וגם נותרי ולכן בעלי אורך סופי.

כל מודול ארטיני (או נותרי) אפשר לפרק לסכום ישר סופי של מודולים אי-פרידים (כאלו שאי אפשר לפרק אותם לסכום ישר). אם המודול בעל אורך סופי, אז הפירוק יחיד עד כדי סדר (משפט קרול-רמק-שמידט).

השוואה לתנאי הנותריות

בשונה מחוגים, מודול ארטיני אינו בהכרח נותרי.

מודול הוא בעל אורך סופי (כלומר בעל סדרת הרכב סופית) אם ורק אם הוא ארטיני ונותרי. מעל חוג קומוטטיבי, כל מודול ארטיני ציקלי הוא גם נותרי, אבל מעל חוגים לא-קומוטטיביים, מודולים ארטיניים ציקליים יכולים להיות מאורך אינסופי.

ראו גם

• מודול נותרי
• חוג ארטיני

קישורים חיצוניים

• מודול ארטיני, באתר MathWorld (באנגלית)