מטריצת בלוקים

באלגברה ליניארית, מטריצת בלוקים היא מטריצה שחולקה למספר חלקים שגם הם מטריצות. מטריצת בלוקים היא צורת כתיבה נוחה וחסכונית של מטריצות, שבאה לידי ביטוי במקומות רבים באלגברה ליניארית, כדוגמת צורת ז'ורדן וצורה רציונלית.

דוגמה

את המטריצה ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&-9&2&2\\4&\pi &-1.5&e\\0&4&3&0\\1&3&1&-8\end{pmatrix}}}$ אפשר לכתוב בצורה ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}B&C\\D&E\end{pmatrix}}}$, כאשר $${\displaystyle ={\begin{pmatrix}B&C\\D&E\end{pmatrix}};\quad B={\begin{pmatrix}1&-9\\4&\pi \end{pmatrix}},\quad C={\begin{pmatrix}2&2\\-1.5&e\end{pmatrix}},\quad D={\begin{pmatrix}0&4\\1&3\end{pmatrix}},\quad E={\begin{pmatrix}3&0\\1&-8\end{pmatrix}}}$$.

הבלוקים אינם חייבים להיות ריבועיים.

פעולות על מטריצות בלוקים

בהינתן שתי מטריצות וחלוקתן לבלוקים, אם החלוקה מקיימת תנאים מסוימים ניתן לבצע את פעולות הכפל בסקלר, החיבור וכפל המטריצות על תתי המטריצות.

• כפל בסקלר - כאן אין כל דרישה על המטריצות. בהינתן מטריצת בלוקים, הכפל שלה בסקלר כלשהו הוא כפל הבלוקים באותו הסקלר, כלומר:

$${\displaystyle c\cdot {\begin{pmatrix}{X}_{11}&\cdots &{X}_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{X}_{m1}&\cdots &{X}_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{c\cdot X}_{11}&\cdots &{c\cdot X}_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{c\cdot X}_{m1}&\cdots &{c\cdot X}_{mn}\end{pmatrix}}}$$

• חיבור - בהינתן שתי מטריצות עם אותה חלוקה לבלוקים, החיבור הוא בלוק בלוק, כלומר:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}{X}_{11}&\cdots &{X}_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{X}_{m1}&\cdots &{X}_{mn}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}{Y}_{11}&\cdots &{Y}_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{Y}_{m1}&\cdots &{Y}_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{X}_{11}+{Y}_{11}&\cdots &{X}_{1n}+{Y}_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{X}_{m1}+{Y}_{m1}&\cdots &{X}_{mn}+{Y}_{mn}\end{pmatrix}}}$$

• כפל - בהינתן שתי מטריצות וחלוקה שלהן, כך שמוגדר הכפל בין כל הבלוקים המתאימים, ניתן להתייחס לבלוקים כאל איברים של מטריצות ולהכפיל כרגיל, כלומר:$${\displaystyle {\begin{pmatrix}{X}_{11}&\cdots &{X}_{1t}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{X}_{m1}&\cdots &{X}_{mt}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{Y}_{11}&\cdots &{Y}_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{Y}_{t1}&\cdots &{Y}_{tn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{s=1}^{t}{{X}_{1s}{Y}_{s1}}&\cdots &{\sum _{s=1}^{t}{{X}_{1s}{Y}_{sn}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\sum _{s=1}^{t}{{X}_{ms}{Y}_{s1}}&\cdots &\sum _{s=1}^{t}{{X}_{ms}{Y}_{sn}}\end{pmatrix}}}$$
• שחלוף - בהינתן מטריצת בלוקים ${\displaystyle U}$ המורכבת מ${\displaystyle m\times n}$ בלוקים מסדר זהה, נסמן את הבלוק ה${\displaystyle ij}$ של ${\displaystyle U}$ ב${\displaystyle u_{ij}}$ (כלומר ${\displaystyle U=[u_{ij}]}$). אז ${\displaystyle U^{t}=[u_{ji}^{t}]}$.

בנייה זו נותנת דרך נוחה להתעסק עם צורות שונות של מטריצות, בעיקר בהוכחות שונות בלכסון מטריצות וצורות ג'ורדן.

אם הבלוק השמאלי-עליון הפיך, אפשר לחשב את הדטרמיננטה דרך הפירוק לבלוקים: ${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det(D-CA^{-1}B)}$; ואם המטריצה הפיכה, אפשר לחשב כך גם את ההפכי: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}A^{-1}(1+BP^{-1}CA^{-1})&-A^{-1}BP^{-1}\\-P^{-1}CA^{-1}&P^{-1}\end{pmatrix}}}$, כאשר ${\displaystyle P=D-CA^{-1}B}$.

ראו גם

• מטריצת בלוקים אלכסונית
• צורת ג'ורדן
• צורה רציונלית

קישורים חיצוניים

• מטריצת בלוקים, באתר MathWorld (באנגלית)