מכפלה חצי ישרה

מכפלה חצי ישרה של חבורות היא פעולה היוצרת משתי חבורות ${\displaystyle H}$ ו-${\displaystyle K}$ חבורה חדשה ${\displaystyle G=H\rtimes K}$.

הגדרה

ישנם שני מושגים הקשורים קשר הדוק שנקראים מכפלה חצי ישרה של חבורות:

• בהינתן חבורה ${\displaystyle G}$ ושתי תתי-חבורות שלה ניתן להגדיר מתי ${\displaystyle G}$ היא מכפלה חצי ישרה שלהן.
• בהינתן שתי חבורות ניתן להגדיר את המכפלה החצי ישרה שלהן.

מכפלה חצי ישרה של תתי-חבורות

חבורה ${\displaystyle G}$ נקראת מכפלה חצי ישרה של תתי-חבורת שלה ${\displaystyle K,H<G}$ אם מתקיים:

• ${\displaystyle H}$ נורמלית ב-${\displaystyle G}$
• ${\displaystyle K\cap H=\{1\}}$
• ${\displaystyle KH=G}$, כלומר כל איבר ב-${\displaystyle G}$ ניתן לכתוב כמכפלה של איבר ב-${\displaystyle K}$ ואיבר ב-${\displaystyle H}$.

מכפלה חצי ישרה אבסטרקטית

יהיו ${\displaystyle H}$ ו-${\displaystyle K}$ חבורות. נניח ש-${\displaystyle K}$ פועלת על ${\displaystyle H}$ באמצעות אוטומורפיזם, כלומר: קיים הומומורפיזם ${\displaystyle \rho :K\to \mathrm {Aut} (H)}$ המתאים לכל איבר ב-${\displaystyle K}$ אוטומורפיזם על ${\displaystyle H}$. לשם קיצור נסמן ${\displaystyle (\rho (k))(h)={}^{k}h}$.

נגדיר פעולה על הקבוצה ${\displaystyle G=H\times K=\left\{(h,k)\ |\ h\in H,k\in K\right\}}$ באופן הבא:

${\displaystyle (h_{1},k_{1})\cdot (h_{2},k_{2}):=(h_{1}\cdot {}^{k_{1}}h_{2},k_{1}k_{2})}$.

זו חבורה מסדר ${\displaystyle |G|=|H|\cdot |K|}$ (שכן יש יחידה ${\displaystyle 1_{G}=(1_{H},1_{K})}$ וכל איבר הפיך ${\displaystyle (h,k)^{-1}=({}^{k^{-1}}h^{-1},k^{-1})}$) שנסמנה ${\displaystyle G=H\rtimes K}$.

קשר בין המושגים

• אם ${\displaystyle G}$ היא מכפלה חצי ישרה של שתי תתי-חבורות שלה ${\displaystyle H}$ ו-${\displaystyle K}$, אז יש איזומורפיזם טבעי בינ המכפלה החצי-ישרה (האבסטרקטית) שלהן (כחבורות) ל-${\displaystyle G}$ כאשר הפעולה של ${\displaystyle K}$ על ${\displaystyle H}$ היא פעולת ההצמדה.
• אם מזהים אזי ${\displaystyle H\cap K=\{1\}}$ ו-${\displaystyle H}$ תת-חבורה נורמלית של ${\displaystyle G}$.

יש שיכון טבעי של ${\displaystyle H}$ ו-${\displaystyle K}$ ל-${\displaystyle H\rtimes K}$:

• ${\displaystyle H\cong \{(h,1)|h\in H\}}$,
• ${\displaystyle K\cong \{(1,k)|k\in K\}}$.

שיכון זה מאפשר לחשוב על ${\displaystyle H}$ ו-${\displaystyle K}$ כעל תת-חבורות של ${\displaystyle H\rtimes K}$. תחת שיכון זה ${\displaystyle H\rtimes K}$ היא המכפלה החצי ישרה של תתי-החבורות ${\displaystyle H}$ ו-${\displaystyle K}$.

קישורים חיצוניים

• מכפלה חצי ישרה, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.