ממוצע מוכלל

במתמטיקה, ממוצע מוכלל (נקרא גם ממוצע חזקות, או ממוצע הולדר על שם המתמטיקאי אוטו הולדר^[1]), הוא משפחה של ממוצעים אשר מכלילה את הממוצעים הפיתגוריים (ממוצע חשבוני, ממוצע הנדסי וממוצע הרמוני) וכן ממוצעים נוספים כגון שורש ממוצע הריבועים.

הגדרה מתמטית

בהינתן מספר טבעי ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, אוסף מספרים חיוביים ${\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ומספר ממשי ${\displaystyle p\neq 0}$, הממוצע המוכלל של ${\displaystyle {\bar {x}}}$ מדרגה ${\displaystyle p}$ מוגדר להיות:^[2]

${\displaystyle M_{p}({\bar {x}}):=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{p}}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}}$

באופן דומה, בהינתן משקולות ${\displaystyle {\bar {w}}=(w_{1}\dots ,w_{n})}$, הממוצע המשוקלל של ${\displaystyle {\bar {x}}}$ מדרגה ${\displaystyle p}$ עם המשקולות ${\displaystyle {\bar {w}}}$ מוגדר להיות:

${\displaystyle M_{p,{\bar {w}}}({\bar {x}}):=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}x_{i}^{p}}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}\right)^{\frac {1}{p}}}$

שתי ההגדרות מתלכדות עבור המשקולות האחידות ${\displaystyle {\bar {w}}=(1/n,\dots ,1/n)}$

תכונות

הממוצע המוכלל מקיים את התכונות הבאות:^[2]

• חסימות - עבור כל ${\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ מתקיים ${\displaystyle \min({\bar {x}})\leq M_{p}({\bar {x}})\leq \max({\bar {x}})}$. כלומר, הממוצע המוכלל חסום בין האיבר המינימלי למקסימלי ב-${\displaystyle {\bar {x}}}$.
• סימטריות - עבור כל ${\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ו-${\displaystyle \sigma :\{1,\dots ,n\}\to \{1,\dots ,n\}}$ תמורה כלשהי, מתקיים כי ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=M_{p}(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})}$. כלומר, הפונקציה ${\displaystyle M_{p}}$ סימטרית לסדר איברים.
• הומוגניות - עבור כל ${\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ו-${\displaystyle \alpha >0}$ כלשהו, ניתן להוכיח כי ${\displaystyle M_{p}(\alpha x_{1},\dots ,\alpha x_{n})=\alpha M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}$. כלומר, ${\displaystyle M_{p}}$ היא פונקציה הומוגנית.
• ערך בשוויון איברים - עבור ${\displaystyle x>0}$ מתקיים כי ${\displaystyle M_{p}(x,x,\dots ,x)=x}$. כלומר, הממוצע של איברים זהים הוא האיבר עצמו.
• מונוטוניות באיברים - עבור ${\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ו-${\displaystyle {\bar {y}}=(y_{1},\dots ,y_{n})}$ כך ש-${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}$ לכל ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$, מתקיים כי ${\displaystyle M_{p}({\bar {x}})\leq M_{p}({\bar {y}})}$. כלומר, הממוצע עולה כאשר הערכים עולים.
• מונוטוניות לפי ${\displaystyle p}$ - עבור ${\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ כלשהו ו-${\displaystyle p_{1}\leq p_{2}}$ מתקיים כי ${\displaystyle M_{p_{1}}({\bar {x}})\leq M_{p_{2}}({\bar {x}})}$. כלומר, הממוצע עולה ככל שהדרגה שלו עולה. זוהי גרסה כללית של אי שוויון הממוצעים.
• קיבוציות - עבור ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle {\bar {x}}=(x_{11},x_{12},\dots ,x_{ij},\dots ,x_{nm})}$ ו-${\displaystyle y_{i}=M_{p}(x_{i1},\dots ,x_{im})}$ לכל ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$, מתקיים ${\displaystyle M_{p}(y_{1},\dots ,y_{n})=M_{p}({\bar {x}})}$. כלומר, ניתן לחשב את הממוצע המוכלל בשלבים על-ידי שימוש בקיבוץ איברים לקבוצות שוות גודל.
• רציפות לפי ערכים - עבור ${\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ כלשהו מתקיים כי ${\displaystyle \lim _{{\bar {y}}\to {\bar {x}}}{M_{p}({\bar {y}})}=M_{p}({\bar {x}})}$. כלומר, הפונקציה ${\displaystyle M_{p}}$ רציפה ב-${\displaystyle n}$ ממדים.
• רציפות לפי ${\displaystyle p}$ - עבור ${\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ו-${\displaystyle p\neq 0}$ כלשהם מתקיים כי ${\displaystyle \lim _{p'\to p}{M_{p'}({\bar {x}})}=M_{p}({\bar {x}})}$. כלומר, הממוצע המוכלל רציף לפי הפרמטר ${\displaystyle p}$.

כלל התכונות (למעט סימטריות) נכונות גם עבור המקרה המשוקלל.

מקרים פרטיים

p שואף לאינסוף

ניתן להוכיח כי ${\displaystyle \lim _{p\to \infty }{M_{p}({\bar {x}})}=\max({\bar {x}})}$. כלומר, הממוצע המוכלל שואף לערך המקסימלי ככל ש-${\displaystyle p}$ שואף לאינסוף. על כן נהוג להגדיר ${\displaystyle M_{\infty }({\bar {x}}):=\max({\bar {x}})}$.

הוכחה

מניחים בלי הגבלת הכלליות כי ${\displaystyle x_{1}>x_{2}\geq \dots \geq x_{n}}$. מסמנים:

${\displaystyle M=\lim _{p\to \infty }{M_{p}({\bar {x}})}=\lim _{p\to \infty }{\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{p}}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}}}$

מבצעים את פונקציית הלוגריתם על שני הסעיפים ומשתמשים בכלל לופיטל כדי לקבל:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(M)=\lim _{p\to \infty }{\frac {\ln \left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{p}}\right)-\ln(n)}{p}}\\=\lim _{p\to \infty }{\frac {\sum _{i=1}^{n}{\ln(x_{i})x_{i}^{p}}}{\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{p}}}}\\=\lim _{p\to \infty }{\frac {\ln(x_{1})x_{1}^{p}+\sum _{i=2}^{n}{\ln(x_{i})x_{i}^{p}}}{x_{1}^{p}+\sum _{i=2}^{n}{x_{i}^{p}}}}\\=\lim _{p\to \infty }{\frac {\ln(x_{1})+\sum _{i=2}^{n}{\ln(x_{i})\overbrace {\left(x_{i}/x_{1}\right)^{p}} ^{\to 0}}}{1+\sum _{i=2}^{n}{\underbrace {\left(x_{i}/x_{1}\right)^{p}} _{\to 0}}}}\\=\ln(x_{1})\end{aligned}}}$

על ידי הפעלת פונקציית האקספוננט על שני הסעיפים מקבלים:

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }{M_{p}({\bar {x}})}=M=x_{1}}$

מש"ל.

p=2

במקרה שבו ${\displaystyle p=2}$ מתקבל כי:

${\displaystyle M_{2}({\bar {x}})={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}{n}}}}$

זהו שורש ממוצע הריבועים.

p=1

במקרה שבו ${\displaystyle p=1}$ מתקבל כי:

${\displaystyle M_{1}({\bar {x}})={\frac {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}}{n}}}$

זהו הממוצע החשבוני.

p=0

על אף שהממוצע המוכלל אינו מוגדר עבור ${\displaystyle p=0}$, ניתן להוכיח כי ${\displaystyle \lim _{p\to 0}{M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}}$, וזה הממוצע ההנדסי. על כן, טבעי להגדיר את הממוצע המוכלל ב-${\displaystyle p=0}$ להיות הממוצע ההנדסי.

הוכחה

מסמנים:

${\displaystyle M=\lim _{p\to 0}{M_{p}({\bar {x}})}=\lim _{p\to 0}{\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{p}}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}}}$

מבצעים את פונקציית הלוגריתם על שני הסעיפים ומשתמשים בכלל לופיטל כדי לקבל:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(M)=\lim _{p\to 0}{\frac {\ln \left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{p}}\right)-\ln(n)}{p}}\\=\lim _{p\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{n}{\ln(x_{i})x_{i}^{p}}}{\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{p}}}}\\={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\ln(x_{i})}}{\sum _{i=1}^{n}{1}}}\\=\ln \left({\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}\right)\\\end{aligned}}}$

על ידי הפעלת פונקציית האקפוננט על שני הסעיפים מקבלים:

${\displaystyle \lim _{p\to 0}{M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}=M={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}}$

p=-1

במקרה שבו ${\displaystyle p=-1}$ מתקבל כי:

${\displaystyle M_{-1}({\bar {x}})={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}}$

זהו הממוצע ההרמוני.

p שואף למינוס אינסוף

ניתן להוכיח כי ${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{M_{p}({\bar {x}})}=\min({\bar {x}})}$. כלומר, הממוצע המוכלל שואף לערך המינימלי ככל ש-${\displaystyle p}$ שואף למינוס אינסוף. על כן נהוג להגדיר ${\displaystyle M_{-\infty }({\bar {x}}):=\min({\bar {x}})}$.

הוכחה

ניתן להראות כי:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{p\to -\infty }{M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}={\frac {1}{\lim _{p\to \infty }{M_{p}(1/x_{1},\dots ,1/x_{n})}}}\\={\frac {1}{\max(1/x_{1},\dots ,1/x_{n})}}\\=\min(x_{1},\dots ,x_{n})\end{aligned}}}$

מש"ל.

קישורים חיצוניים

• ממוצע מוכלל, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. Eric W. Weisstein, Power Mean, mathworld.wolfram.com (באנגלית)
2. P. S. Bullen, Handbook of Means and Their Inequalities, Springer Science & Business Media, 2013-04-17, ISBN 978-94-017-0399-4. (באנגלית)