מנרמל

בתורת החבורות, מנרמל (או נורמליזטור) של תת-חבורה ${\displaystyle H}$ בחבורה ${\displaystyle G}$ הוא תת-החבורה הגדולה ביותר של ${\displaystyle G}$ שבה ${\displaystyle H}$ נורמלית.

הגדרה

המנרמל של תת-חבורה ${\displaystyle H\leq G}$ הוא אוסף כל האיברים של ${\displaystyle G}$ המקיימים את התנאי ${\displaystyle xHx^{-1}=H}$. במילים אחרות, אלו האיברים ${\displaystyle x\in G}$ שעבורם, הצמוד ${\displaystyle xhx^{-1}}$ שייך ל-${\displaystyle H}$ לכל ${\displaystyle h\in H}$, ורק עבור ${\displaystyle h}$ כזה. את המנרמל מקובל לסמן ב-${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)}$, כך ש- ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)=\{x\in G:xHx^{-1}=H\}}$.

כאשר מדובר בחבורות סופיות (ואפילו אם ${\displaystyle H}$ בלבד סופית), הקבוצה ${\displaystyle \{x\in G:xHx^{-1}\subseteq H\}}$ שווה למנרמל. עם זאת, באופן כללי התנאי ${\displaystyle xHx^{-1}\subseteq H}$ חלש מתנאי השוויון, והוא מגדיר קבוצה המכילה את המנרמל, ועשויה להיות שונה ממנו. קבוצה זו סגורה לכפל, אבל אינה בהכרח סגורה לפעולת ההיפוך. לדוגמה, בחבורת Baumslag-Solitar ${\displaystyle \langle a,b\,|\,aba^{-1}=b^{2}\rangle }$, האיבר ${\displaystyle a}$ אינו שייך למנרמל של תת-החבורה הציקלית ${\displaystyle \langle b\rangle }$, אף על פי ש-${\displaystyle a\langle b\rangle a^{-1}\subset \,\langle b\rangle }$.

תכונות עיקריות

מן ההגדרה ברור ש-${\displaystyle H\subseteq \operatorname {N} _{G}(H)}$, וש-${\displaystyle H}$ היא תת-חבורה נורמלית שם. המנרמל הוא תת-החבורה הגדולה ביותר שבה ${\displaystyle H}$ נורמלית - כל תת-חבורה של ${\displaystyle G}$ המכילה את ${\displaystyle H}$ ושבה ${\displaystyle H}$ נורמלית, מוכלת במנרמל של ${\displaystyle H}$. המנרמל שווה ל-${\displaystyle G}$ אם ורק אם ${\displaystyle H}$ עצמה תת-חבורה נורמלית.

האינדקס של ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)}$ שווה למספר תת-החבורות הצמודות ל-${\displaystyle H}$. אפשר לראות בגודל המנרמל מדד ל"מידת הנורמליות" של תת-החבורה: המנרמל של ${\displaystyle H}$ שווה ל-${\displaystyle H}$ כאשר היא רחוקה ביותר מלהיות נורמלית.

באופן כללי מתקיים ${\displaystyle H\subseteq \operatorname {N} _{G}(H)\subseteq \operatorname {N} _{G}(\operatorname {N} _{G}(H))\subseteq \cdots }$. אם ${\displaystyle G}$ היא חבורת-p אז ${\displaystyle H\subset \operatorname {N} _{G}(H)}$ לכל ${\displaystyle H\subset G}$. לעומת זאת, אם ${\displaystyle P}$ היא תת-חבורת סילו, אז ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)=H}$ לכל ${\displaystyle H\supseteq \operatorname {N} _{G}(P)}$ (זו תוצאה של משפט סילו השני).

המנרמל של איבר בחבורה חופשית הוא אבלי^[1].

קישורים חיצוניים

• מנרמל, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. Magnus, Karrass and Solitar, p. 42