מקרה מנוון

במתמטיקה, מקרה מנוון של עצם מתמטי הוא מקרה קצה של העצם המקיים את הגדרתו, אולם הוא חורג מהמאפיינים השגרתיים של העצם ולרוב הוא פשוט יותר. לעיתים המקרה המנוון אינו מקיים את הגדרת העצם אך הוא הגבול של סדרת עצמים המקיימים את ההגדרה.

ההחלטה האם לכלול או לא לכלול מקרה מנוון בהגדרת העצם תלויה בהקשר, והיא מבוססת על אסתטיקה ונוחות. לדוגמה, ניתן להגדיר משולש כאוסף של שלוש נקודות (קודקודים) והקטעים המחברים אותן (צלעות), אולם הגדרה זו כוללת משולשים מנוונים - משולשים שבהם שלוש הנקודות הן על ישר אחד. במקרה כזה משולש מנוון הוא פשוט קטע (בתוספת מידע על מיקום קודקוד עליו). הגדרה זו נוחה כאשר עוסקים באי-שוויון המשולש, שם יש חשיבות למקרה המנוון שבו מתקיים שוויון. אולם כאשר עוסקים בגאומטריה אוקלידית, מקובל להעלים את המקרה המנוון ולהגדיר משולש בעזרת שלוש נקודות שאינן על ישר אחד. זאת משום שמשולש מנוון אינו תואם את התפיסה היומיומית של משולש והוא אינו מקיים תכונות משולש חשובות, למשל הוא אינו מגדיר מישור, ויש משפטים שאינם מתקיימים בו, למשל המשפט: "משולש ששתיים מזוויותיו שוות זו לזו הוא שווה-שוקיים" - שתיים מזוויותיו של משולש מנוון שוות זו לזו (הן אפס), אך משולש כזה אינו בהכרח שווה-שוקיים.

תכונות מסוימות של עצמים מתמטיים משתמרות גם במקרים המנוונים, לעיתים קרובות באופן ריק. דוגמה: גם במשולש מנוון מתקיים המשפט שמפגש האנכים האמצעיים הוא מרכז המעגל החוסם, מהסיבה הפשוטה שבמשולש מנוון האנכים האמצעיים אינם נפגשים (הם מקבילים) וכלל אין מעגל חוסם (אין מעגל העובר דרך שלוש נקודות הנמצאות על ישר אחד). לעיתים ניאלץ להיזהר בניסוח של טענות, על מנת שיתקיימו גם במקרה המנוון. דוגמה: המשפט "במשולשים דומים, היחס בין שטחי המשולשים שווה ליחס בין ריבועי האורך של הצלעות המתאימות" אינו מתקיים במקרה המנוון (כי הוא מדבר על חלוקה באפס), אך הוא מתקיים בניסוח השקול (המסורבל מעט יותר): "במשולשים דומים, שטח המשולש האחד שווה לשטח המשולש האחר כפול יחס ריבועי האורך של הצלעות המתאימות". הניסוח הראשון שהובא כאן הוא ניסוחו של אוקלידס בספרו "יסודות" (כרך VI, משפט 19), וממנו (כמו ממשפטים נוספים בספר זה, ובפרט משפט 20 בכרך I: במשולש סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית) ברור שאוקלידס לא כלל משולש מנוון בהגדרתו של משולש.

יש דמיון בין עצמים המכונים מנוונים לעצמים המכונים טריוויאליים. אולם לרוב עצם מכונה טריוויאלי בעיקר כשהוא דוגמה פשוטה ביותר לעצם, אבל אין בו איבוד משמעותי של תכונות או של מבנה פנימי כמו במקרה מנוון.

דוגמאות

• נקודה היא קטע מנוון, שקצותיו מתלכדים.
• נקודה היא ספירה מנוונת (ובכלל זה מעגל מנוון) כאשר הרדיוס של הספירה הוא 0.
• מעגל הוא אליפסה מנוונת בה שני המוקדים מתלכדים.
• ישר הוא פרבולה מנוונת בה המוקד נמצא על הישר המנחה.
• במשולש שווה-צלעות ישר אוילר מתנוון ואינו מוגדר כי כל הנקודות שמגדירות אותו מתלכדות לכדי נקודה אחת.
• הפונקציה הקבועה ${\displaystyle f(x)=1^{x}=1}$ היא מקרה מנוון של פונקציה מעריכית שאין בה שום גידול או דעיכה.
• סדרה קבועה היא הן סדרה חשבונית מנוונת שהפרשה 0, והן סדרה הנדסית מנוונת שמנתה 1.
• במובן מסוים פולינום האפס הוא פולינום מנוון. בניגוד לכל פולינום אחר יש לו אינסוף שורשים (כל איבר הוא שורש שלו) ומעלתו אינה מוגדרת (או מוגדרת כמינוס אינסוף, כשיש מובן לביטוי זה).
• מבחינה גאומטרית ופיזיקלית וקטור האפס הוא מקרה מנוון של וקטור, כי אין לו כיוון. אולם בהקשרים אלגבריים, בהם העניין בווקטורים הוא כבאיברים אלגבריים מופשטים, אין חשיבות רבה לעובדה זו.
• פונקציית הדלתא של דיראק היא פונקציה ממשית מנוונת. היא אינה מקיימת את ההגדרה של פונקציה ממשית, כי היא מקבלת את הערך אינסוף בנקודה אפס. אולם היא כן הגבול של סדרת פונקציות ממשיות תקניות מהן היא "יורשת" את תכונותיהן ומתנהגת כפונקציה ממשית תקנית.
• היחס המלא ${\displaystyle {\mathcal {R}}=A\times B}$ הוא יחס בינארי מנוון, שכן כל שני איברים יקיימו אותו.
• יחס השוויון הוא יחס חשוב ביותר בתור יחס שקילות, אולם בתור יחס סדר הוא מנוון. הוא מאפשר להשוות רק בין שני איברים זהים, והשוואה זו טריוויאלית.
• מכפלה ריקה היא מקרה מנוון של מכפלה של קבוצת מספרים כאשר הקבוצה היא הקבוצה הריקה.
• התפלגות מנוונת היא מקרה מנוון של התפלגות בו אין כלל אקראיות והמשתנה המקרי מקבל רק ערך אחד.
• לפי הגדרות מסוימות החוג הטריוויאלי (הכולל איבר יחיד ${\displaystyle e}$ המקיים ${\displaystyle e+e=e}$ וכן ${\displaystyle e*e=e}$) הוא שדה מנוון. הוא מקיים את כל התכונות בהגדרת השדה, אך הוא נעדר מאפיינים חשובים של כל השדות האחרים (לדוגמה בשדה זה ${\displaystyle e=0=1}$, כלומר איבר האפס שווה לאיבר היחידה הכפלי). מסיבה זו נהוג להוסיף להגדרת השדה את התנאי ש-0 שונה מ-1, כלומר יש לפחות שני איברים.
• בתורת המשחקים, משחק מנוון הוא משחק דיקטטורי בו תוצאות המשחק תלויות בשחקן יחיד, ואין השפעה לאסטרטגיות של שאר השחקנים.

קישורים חיצוניים

• מקרה מנוון, באתר MathWorld (באנגלית)