משטח בורגי

משטח בורגי כאשר α=1 ,-1≤ρ≤1 ,-π≤θ≤π .

בגאומטריה, משטח בורגי או הליקואיד (באנגלית: helicoid) הוא משטח ישרים דמוי בורג. משטח בורגי הוא השלישי בעל שטח מינימלי אחרי המישור והקטנואיד, עובדה שהוכיח אז'ן שרל קטלן. משטח בורגי הוא משטח ישרים וגם קונואיד ישר. משטח בורגי הוא ההכללה האינסופית של בורג ארכימדס. אפשר לאפיין אותו על ידי המשוואה עם פרמטרים הבאה:

${\displaystyle x=\rho \cos(\alpha \theta ),\ }$

${\displaystyle y=\rho \sin(\alpha \theta ),\ }$

${\displaystyle z=\theta ,\ }$

כאשר α הוא קבוע. אם α גדול מאפס, אז המשטח מסתובב נגד כיוון השעון (ימני), ואם שלילי, אז עם כיוון השעון (שמאלי). משטח בורגי הוא הומיאומורפי לישר ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, וכאשר α=0 אז המשטח הוא מישור. אם קובעים h שהוא הערך המקסימלי של ציר ה-z, ו-R זה הרדיוס, אז השטח של המשטח הבורגי בין ערך ה-h וציר ה-x וה-y יהיה ${\displaystyle \pi [R{\sqrt {(}}R^{2}+h^{2})+h^{2}*\ln((R+{\sqrt {(}}R^{2}+h^{2})/h)]}$. העקמומיות גאוסיאנית של משטח בורגי ביא ${\displaystyle \pm 1/(1+\rho ^{2})\ }$.

מעבר בין משטח בורגי לקטנואיד.

משטח בורגי הוא איזומטרי לקטנואיד על ידי פונקציה רציפה שהיא:

${\displaystyle x(u,v)=\cos \theta \,\sinh v\,\sin u+\sin \theta \,\cosh v\,\cos u}$

${\displaystyle y(u,v)=-\cos \theta \,\sinh v\,\cos u+\sin \theta \,\cosh v\,\sin u}$

${\displaystyle z(u,v)=u\cos \theta +v\sin \theta \,}$

עם פרמטרים המוגדרים להיות ${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$, ${\displaystyle (u,v)\in (-\pi ,\pi ]\times (-\infty ,\infty )}$,

כאשר: ${\displaystyle \theta =\pi }$ מתאים למשטח בורגי ימני, ${\displaystyle \theta =\pm \pi /2}$ מתאים לקטנואיד ו- ${\displaystyle \theta =0}$ מתאים למשטח בורגי שמאלי.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משטח בורגי בוויקישיתוף

• משטח בורגי, באתר MathWorld (באנגלית)