משפט ארטין-שרייר (הרחבות ציקליות)

	ערך מחפש מקורות
	רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים. אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים. אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

ערך מחפש מקורות

רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים. אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים. אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

בתורת השדות, משפט ארטין שרייר נותן תנאי הכרחי ומספיק לכך שחבורת גלואה של הרחבה סופית מעל שדה ממציין ${\displaystyle p}$ תהיה ציקלית מסדר ${\displaystyle p}$. בכך הוא מצטרף למשפט קומר שעושה זאת על הרחבות מסדר זר למציין השדה.

המשפט

תהי ${\displaystyle L/K}$ הרחבת שדות לא טריוויאלית, כאשר ${\displaystyle \operatorname {char} K=p}$. אז היא גלואה וחבורת גלואה שלה מעגלית מסדר ${\displaystyle p}$ אם ורק אם ${\displaystyle L=K(\alpha )}$ עבור ${\displaystyle \alpha \in L\setminus K}$ המקיים ${\displaystyle \alpha ^{p}-\alpha \in K}$.

הוכחת המשפט

כיוון אחד: נניח ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$ מעגלית מסדר ${\displaystyle p}$. יהי ${\displaystyle \sigma }$ יוצר שלה. אז

${\displaystyle \operatorname {Tr} (-1)=-1+\sigma (-1)...+\sigma ^{p-1}(-1)=p\cdot (-1)=0}$

ולכן ממשפט 90 של הילברט, יש ${\displaystyle \alpha \in L}$ כך ש-${\displaystyle \alpha -\sigma (\alpha )=-1}$. מכאן ${\displaystyle \sigma (\alpha )=\alpha +1}$ ומכאן ${\displaystyle \sigma ^{j}(\alpha )=\alpha +j}$. אז ${\displaystyle \alpha \notin K}$ כי ${\displaystyle \sigma (\alpha )\neq \alpha }$, וכיוון ש-${\displaystyle [K(\alpha ):K]=p}$ אז ${\displaystyle [K(\alpha ):K]|p}$ ולכן

${\displaystyle p=|G|=[L:K]=[L:K(\alpha )]\cdot [K(\alpha ):K]=[L:K(\alpha )]\cdot p}$

ובסך הכל ${\displaystyle [L:K(\alpha )]=1}$ ולכן ${\displaystyle L=K(\alpha )}$. כמו כן לכל ${\displaystyle j\in \mathbb {F} _{p}\subseteq K}$ מתקיים

${\displaystyle \sigma ^{j}(\alpha ^{p}-\alpha )=\sigma ^{j}(\alpha )^{p}-\sigma ^{j}(\alpha )=(\alpha +j)^{p}-\alpha +j=\alpha ^{p}-\alpha }$

ולכן ${\displaystyle \alpha ^{p}-\alpha }$ נמצא בשדה השבת ${\displaystyle L^{G}=K}$, כלומר: ${\displaystyle \alpha ^{p}-\alpha \in K}$.

כיוון שני: נניח ${\displaystyle L=K(\alpha )}$. נסמן ${\displaystyle f=x^{p}-x-\alpha ^{p}+\alpha }$. אז לכל j מתקיים ${\displaystyle f(\alpha +j)=(\alpha +j)^{p}-\alpha -j-\alpha ^{p}+\alpha =j^{p}-j=0}$ לפי המשפט הקטן של פרמה. לכן ${\displaystyle f}$ מתפצל ב-${\displaystyle L}$. הוא גם פולינום ספרבילי כי הוא זר לנגזרת שלו (שהיא 1-) ולכן ${\displaystyle L/K}$ הרחבת גלואה. כל איבר בה, ${\displaystyle \sigma }$, הוא K-אוטומורפיזם של ${\displaystyle L}$ ולכן מעביר את ${\displaystyle \alpha }$ לשורש כלשהו של ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle \alpha +j}$. לכן אפשר להגדיר פונקציה ${\displaystyle \omega :\operatorname {Gal} (L/K)\to \mathbb {F} _{p}}$ המקיימת ${\displaystyle \sigma (\alpha )=\alpha +\omega (\sigma )}$. כאן ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ הוא השדה הראשוני מסדר p אבל אנו מסתכלים עליו כעל החבורה האבלית ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\{0,1,...,p-1\}}$ עם חיבור מודולו p. נראה ש-${\displaystyle \omega }$ הוא איזומורפיזם של חבורות: יהיו ${\displaystyle \sigma ,\tau \in \operatorname {Gal} (L/K)}$. אז

${\displaystyle \omega (\sigma \tau )=(\sigma \tau )(\alpha )-\alpha =\sigma (\alpha +\omega (\tau ))-\alpha =\sigma (\alpha )+\omega (\tau )-\alpha =\omega (\sigma )+\omega (\tau )}$

ולכן ${\displaystyle \omega }$ הומומורפיזם. תמונתו היא תת-חבורה של ${\displaystyle \mathbb {F} _{P}}$, לכן טריוויאלית או כולה. אבל אם היא הייתה טריוויאלית גם ההרחבה הייתה טריוויאלית, בסתירה להנחה. כמו כן הגרעין של ${\displaystyle \omega }$ הוא ${\displaystyle \{\sigma |\sigma (\alpha )=\alpha \}=\{\operatorname {Id} \}}$ לכן הוא איזומורפיזם. לכן החבורה מעגלית מסדר ${\displaystyle p}$ כרצוי.

מ.ש.ל.