משפט דקארט (מתמטיקה)

מעגלים נושקים. בינתן שלושה מעגלים משיקים זה לזה (בשחור), יש, באופן כללי, שתי תשובות אפשריות (באדום) לגבי הרדיוס שיכול להיות למעגל משיק רביעי.

בגאומטריה, משפט דקארט קובע כי על כל ארבעה מעגלים שמשיקים פנימית, או חיצונית, רדיוסי המעגלים מקיימים משוואה ריבועית מסוימת. על ידי פתרון המשוואה הזו, אפשר לבנות מעגל רביעי המשיק לשלושת המעגלים הנתונים כך שכולם ישיקו אחד לשני. המשפט נקרא על שמו של רנה דקארט, שגילה אותו ב-1643.

השיר The Kiss Precise של פרדריק סודי משנת 1936 מסכם את המשפט במונחים של עיקולים (רדיוסים ביחס הפוך) של ארבעת העיגולים:

"הסכום של כל העיקולים בריבוע שווה לחצי מסכום ריבועי העיקולים"

במקרים מיוחדים של המשפט ניתן להחליף אחד או שניים מהמעגלים בישר (מעגל עם עיקול אפס). גרסה של המשפט באמצעות מספרים מרוכבים מאפשרת לחשב את מרכזי המעגלים, ולא רק את הרדיוסים שלהם. עם הגדרה מתאימה של עקמומיות, המשפט חל גם בגאומטריה כדורית ובגאומטריה היפרבולית. בממדים גבוהים יותר, משוואה ריבועית אנלוגית זו חלה על מערכות של ספירות משיקות או אפילו היפר ספירות.

המשפט

כאן, מכיוון שכל שלושת המעגלים משיקים זה לזה באותה נקודה, משפט דקארט אינו חל.

משפט דקארט נאמר בצורה הכי בסיסית במונחים של עקמימות (עיקוליות) המעגלים. סימן והעקמומיות של מעגל מוגדרים בתור ${\displaystyle k=\pm 1/r}$, כאשר ${\displaystyle r}$ הוא הרדיוס שלו. ככל שהמעגל גדול יותר, כך גודל העקמומיות שלו קטן יותר, ולהפך. הסימן ${\displaystyle k=\pm 1/r}$ (מיוצג על ידי ${\displaystyle \pm }$) חיובי עבור מעגל המשיק מבחוץ למעגלים האחרים. ואילו עבור מעגל המשיק פנימית אל המעגלים האחרים ותוחם אותם, הסימן שלילי. אם ישר נחשב למעגל בעל עקמומיות אפס (ולפיכך רדיוס אינסופי), משפט דקארט חל גם על ישר ושלושה עיגולים ששלושתם משיקים אחד לשנית.

לארבעה עיגולים המשיקים זה לזה בשש נקודות ברורות, עם עקומות ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,4}$, משפט דקארט גורס כי:

${\displaystyle (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2}).}$

אם אחת מארבע העקמומיות נחשבת למשתנה, והשאר לקבועים, זוהי משוואה ריבועית. כדי למצוא את הרדיוס של מעגל רביעי המשיק לשלושה העיגולים הנתונים, ניתן לפתור את המשוואה הריבועית בדי קלות:

${\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}}}.}$ 

הפלוס ומינוס מציין שבאופן כללי למשוואה הזו יש שני פתרונות, ולכל שלושה מעגלים המשיקים זה לזה יש שני מעגלים משיקים (או ישרים- מעגלים עם עקמומיות אפס). בינתן לפרטי השאלה ניתן לדעת איזה פתרון מתאים למערכת המעגלים.

המשפט אינו חל על מערכות מעגלים עם יותר משני מעגלים המשיקים זה לזה באותה נקודה. זה מחייב שנקודות ההשקה יהיו מופרדות. כאשר יותר משני מעגלים משיקים בנקודה אחת, יכולים להיות אינסוף מעגלים כאלה, עם עקמומיות שרירותיות; ראה עיפרון עיגולים .

מציאת מרכזי המעגל

כדי לדעת מעגל באופן מוחלט, יש לדעת לא רק את הרדיוס שלו (או העקמומיות), אלא גם את מרכזו. המשוואה הרלוונטית באה לידי ביטוי בצורה המלאה ביותר אם הקואורדינטות הקרטזיות ${\displaystyle (x,y)}$ מתפרשים כמספר מרוכב ${\displaystyle z=x+iy}$ . המשוואה אז נראית דומה גם כן למשפט דקארט ולכן נקראת משפט דקארט המורכב . נתון ארבעה עיגולים עם עקומות ${\displaystyle k_{i}}$ ומרכזים ${\displaystyle z_{i}}$ for ${\displaystyle i\in \{1,2,3,4\}}$, השוויון הבא מתקיים בנוסף למשוואה שמצאנו קודם:  ${\displaystyle (k_{1}z_{1}+k_{2}z_{2}+k_{3}z_{3}+k_{4}z_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}z_{1}^{2}+k_{2}^{2}z_{2}^{2}+k_{3}^{2}z_{3}^{2}+k_{4}^{2}z_{4}^{2}).}$

מרגע ש${\displaystyle k_{4}}$ נמצא באמצעות משוואת דקארט הרגילה אפשר להמשיך לחישוב ${\displaystyle z_{4}}$ על ידי פתרון המשוואה כמשוואה ריבועית:

$${\displaystyle z_{4}={\frac {z_{1}k_{1}+z_{2}k_{2}+z_{3}k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}z_{1}z_{2}+k_{2}k_{3}z_{2}z_{3}+k_{1}k_{3}z_{1}z_{3}}}}{k_{4}}}.}$$

שוב, באופן כללי יש שני פתרונות ${\displaystyle z_{4}}$ המתאימים לשני הפתרונות ${\displaystyle k_{4}}$. סימן הפלוס/מינוס בנוסחה לעיל ${\displaystyle z_{4}}$ מתאר אותם.

מקרים מיוחדים

כל השלושה מעגלים משיקים זה לזה ולכולם עקומה k = 1/√3. המעגלים משיקים לשני מעגלים (הנובעים מהמשוואה) עם עקומות k = √3 ± 2 .

שלושה מעגלים חופפים

כאשר שלושה מתוך ארבעת המעגלים חופפים, המרכזים שלהם יוצרים משולש שווה-צלעות, וכך גם נקודות ההשקה שלהם. שתי האפשרויות למעגל רביעי המשיק לשלושתם הן קונצנטריות, והמשוואה מצטמצמת ל-

$${\displaystyle k_{4}=(3\pm 2{\sqrt {3}})k_{1}.}$$

קו ישר אחד או יותר

משפט דקארט עדיין חל כאשר אחד המעגלים מוחלף בקו ישר (מעגל עם עקמומיות אפס).

אם אחד משלושת המעגלים מוחלף על ידי קו ישר המשיק למעגלים הנותרים, אז העקמומיות שלו היא אפס וכל היוצא מזה מובע במשוואה. למשל, אם ${\displaystyle k_{3}=0}$, אז ניתן לחלק לגורמים את המשוואה המקורית.

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl (}{\sqrt {k_{1}}}+{\sqrt {k_{2}}}+{\sqrt {k_{4}}}{\bigr )}{\bigl (}{{\sqrt {k_{2}}}+{\sqrt {k_{4}}}-{\sqrt {k_{1}}}}{\bigr )}\\[3mu]&\quad {}\cdot {\bigl (}{\sqrt {k_{1}}}+{\sqrt {k_{4}}}-{\sqrt {k_{2}}}{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {k_{1}}}+{\sqrt {k_{2}}}-{\sqrt {k_{4}}}{\bigr )}=0,\end{aligned}}}$$

ואילו הפתרון הוא:

$${\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}.}$$

נטילת השורש הריבועי של שני הצדדים מובילה לניסוח חלופי נוסף של מקרה זה ( ${\displaystyle k_{1}\geq k_{2}}$),

$${\displaystyle {\sqrt {k_{4}}}={\sqrt {k_{1}}}\pm {\sqrt {k_{2}}},}$$

שתוארה כ"מעין גרסה חלשה של משפט פיתגורס ".

אם שני מעגלים מוחלפים בקווים, במקרה זה, ${\displaystyle k_{2}=k_{3}=0}$, והמשוואה נהיית טריוויאלית.

$${\displaystyle \displaystyle k_{4}=k_{1}.}$$

זה מתאים לתובנה שאומרת שכדי שכל ארבע העקומות יישארו משיקות זה לזה, על שני המעגלים האחרים להיות זהים.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט דקארט בוויקישיתוף